Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones «especiales» entre expresiones algebraicas cuyo resultado se puede obtener a manera de identidad sin requerir un procedimiento que verifique la multiplicación.

Dicho de otro modo… un producto notable es como una receta de cocina… con sólo mirar los ingredientes… tu ya te puedes imaginar el platillo resultante.

Productos Notables Más Comunes

productos notables más utilizados o importantes

Binomio conjugado

Básicamente el binomio conjugado consiste en el producto de la suma por la resta de dos cantidades. Su resultado directo es el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado. Veamos la fórmula:

productos notables binomio conjugado

Analicemos un ejemplo:

Si tenemos una suma multiplicada por una resta de dos términos… (ojo! los términos deben ser iguales en la suma y la resta)

ejercicios binomio conjugado

Su resultado «directo» será el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado… y listo!

binomio conjugado ejemplos

Resolviendo el tendríamos

binomio conjugado resuelto

Verificación del resultado

Vamos a utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación para verificar nuestro resultado anterior:

propiedad distributiva de la multiplicación

Esto nos daría…

polinomio propiedad distributiva

Cancelamos términos opuestos… y llegamos al mismo resultado

binomio conjugado comprobación

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Binomio de término común

Vamos sin rodeos, este producto notable simplemente consiste en multiplicar dos binomios que tengan un término igual o común.

Por ejemplo… (5a + 2) (5a – 7)… acá el término común es 5a. ¿Fácil cierto? Veamos la fórmula para que sepas qué hacer cuanto te encuentras con estos productos notables:

productos notables Binomio de término común

Analicemos la fórmula del binomio de término común… hay que hacer dos cosas importantes con el término diferente: sumarlos y multiplicarlos.

Luego simplemente los ubicamos en el resultado que consiste en un trinomio: iniciamos con el término común elevado al cuadrado, seguido de la suma de los diferentes que multiplica al término común y finalizamos con la multiplicación de los términos diferentes.

Veamos un ejemplo:

binomio de término común ejemplos

Acá podemos ver que el término común es x y los términos diferentes son +3 y +5. Lo que vamos a hacer es sumar y multiplicar a los diferentes.

La suma entre +3 y +5 da +8, y la multiplicación entre +3 y +5 da +15. Ahora sólo lo ubicamos de la siguiente forma:

producto de binomios de término común ejercicio
trinomio

Analicemos el trinomio del resultado…

Lo primero es elevar el término común al cuadrado.. por eso colocamos

Lo que sigue es tomar esa suma de +3 y +5 que nos dio +8 y multiplicarlo por el término común x… por eso colocamos 8x

Por último agarramos la multiplicación de +3 y +5 y colocamos +15… y listo!

Verifiquemos el resultado:

Vamos a utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación para verificar nuestro resultado anterior:

propiedad distributiva de la multiplicación algebra

Operamos los términos semejantes como lo son el 5x + 3x que sabemos que da 8x y listo! obtenemos el mismo resultado

reducción de términos semejantes

Tu decides si aplicas la fórmula del binomio de término común o si utilizas la propiedad distributiva de la multiplicación, de ambas formas obtendrás el mismo resultado:

productos notables binomio de término común

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Binomio al Cuadrado

El primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado… básicamente así podemos recitar lo que significa resolver un binomio al cuadrado. ¿Fácil cierto?

Veamos la fórmula:

binomio al cuadrado fórmula

Arranquemos con un ejemplo para que lo podamos explicar mejor:

binomio al cuadrado

Un binomio puede ser una suma o una resta de dos términos entre paréntesis y elevados al cuadrado. En este caso la solución es así de simple:

productos notables binomio al cuadrado ejercicios resueltos

Analicemos… el primer término es x… el segundo término es +5… la cosa se resolvió así:

El primer término al cuadrado… por eso colocamos

Dos veces el primero por el segundo… por eso colocamos 2 multiplicado por x y multiplicado por +5

y finalmente el segundo término elevado al cuadrado… por eso colocamos que da 25… y listo!

Comprobación del producto notable del binomio al cuadrado:

Partamos del hecho de que elevar un binomio al cuadrado es igual a multiplicarlo dos veces por sí mismo:

comprobación del binomio al cuadrado

Ahora vamos a aplicar propiedad distributiva de la multiplicación para resolver ese producto de binomios:

productos notables comprobación del binomio al cuadrado

Operamos los términos semejantes como lo son el 5x + 5x que sabemos que da 10x y listo! obtenemos el mismo resultado

verificación del binomio al cuadrado

Tu decides si aplicas la fórmula del binomio al cuadrado o si resuelves por propiedad distributiva de la multiplicación… en ambos casos da igual!

productos notables binomio al cuadrado

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Binomio al Cubo

Seguramente oíste a tu profe recitar el siguiente poema: el primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo. ¿Hermoso cierto? En eso consiste el binomio al cubo del cual vamos a hablar ahora.

productos notables binomio al cubo

Vamos a arrancar con ejemplos de productos notables del binomio al cubo para que lo vayas entendiendo:

binomio al cubo eejercicios resueltos

Lo primero es identificar términos… el primer término es x y el segundo término es +5. Apliquemos ese bello poema que dice

El primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo

binomio al cubo ejercicios resueltos

Analicemos… el primero al cubo es +… tres veces el primero al cuadrado por el segundo es 3(x)²(5)+… tres veces el primero por el segundo al cuadrado es 3(x)(5)²+… el segundo al cubo es .

Rompamos paréntesis y operemos

productos notables binomio al cubo

¿Fácil cierto? Ahora vamos a realizar la comprobación del resultado aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación.

Recuerda que elevar algo al cubo es multiplicar ese algo por sí mismo tres veces:

comprobación del binomio al cubo

Apliquemos propiedad distributiva entre los dos primeros binomios de la siguiente manera:

productos notables comprobación

Operamos términos semejantes que este caso son 5x + 5x lo cual da 10x

reducción de términos semejantes

Ahora tenemos un trinomio por un binomio:

productos notables ejemplos resueltos paso a paso

Aplicamos propiedad distributiva nuevamente:

resolver binomios al cubo por propiedad distributiva

Operamos términos semejantes:

comprobación del binomio al cubo

Tu decides si aplicas el bello poema el primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo o si aplicas propiedad distributiva de la multiplicación… en ambos casos obtendrás el mismo resultado:

binomio al cubo

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Binomio de Newton y Triángulo de Pascal

binomio de newton

El binomio de newton consiste en una fórmula que permite obtener los coeficientes de un término enésimo de un binomio elevado a un exponente determinado.

Pero en esta ocasión vamos a aprender a utilizar el Triángulo de Pascal o Tartaglia para obtener dichos coeficientes y resolver de forma sencilla cualquier enésima potencia de un binomio.

Construcción del Triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal, también conocido como Tartaglia, parte de tres unos ubicados de la siguiente manera:

triángulo de pascal construcción

Vamos a sumar los unos de la base y obtendremos un 2… así

Tartaglia construcción

Ahora procedemos a colocar un uno a lado y lado para completar la base del triángulo

triángulo de pascal

Vamos a añadir otra línea más al triángulo… sumemos el 1 y 2 de la parte izquierda de la base y ubiquemos el resultado abajo:

triángulo de pascal o tartaglia

Ahora sumemos el 2 y el 1 del lado derecho y ubiquemos el otro 3:

productos notables tartaglia

Para cerrar el triángulo ubicamos un uno a lado y lado de la base:

productos notables triángulo de pascal

¿Le pillaste el truco? Así quedaría si añadimos un par de filas más a la base… tú decides cuánto agregar

triángulo de pascal y binomio de newton

Si deseas ver la explicación del triángulo de pascal en video da clic aquí.

¿Y qué tiene que ver el Triángulo de Pascal con los productos notables y el binomio de Newton?

No se trata de un triángulo lleno de números sin sentido sino que cada piso o línea nos va a proveer de los coeficientes numéricos que requiere un binomio elevado a la enésima potencia.

En la siguiente imagen podemos observar que la punta superior corresponde a un binomio elevado a la cero… la siguiente línea es elevado a la 1… la que sigue es elevado a la 2… y así sucesivamente:

binomio de newton y triángulo de pascal

Si aplicamos esos coeficientes numéricos a cada binomio tendríamos lo siguiente:

binomio de newton y triángulo de pascal o tartaglia

No se ve tan fácil todavía… ¿cierto? Vamos a explicar paso a paso una línea. Supongamos que queremos calcular la fórmula para un binomio elevado a la 4… osea… queremos obtener (a + b)4

Lo primero que debemos hacer es ubicar la línea en el triángulo y posicionar los números en ese orden

triángulo de pascal ejercicios resueltos

Listo ya tenemos los números ubicados. Ahora coloquemos el primer término que en este caso es a. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda a4… luego a3… luego a2… luego a… y el último número queda sin nada por ahora… así:

triángulo de pascal productos notables

Ahora coloquemos el segundo término que en este caso es b pero ahora de izquierda a derecha. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda b4… luego b3… luego b2… luego b… y el último número queda sin la b… así:

productos notables y triángulo de pascal

¿Ahora sí te parece fácil?

Vamos a resolver un ejercicio del binomio de newton y triángulo de pascal:

binomio de newton ejercicios resueltos

Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 6:

binomio de newton ejercicios resueltos

El ejercicio dice (x + 4) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierda a6… luego a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:

triángulo de pascal productos notables

Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de izquierda a derecha b6… luego b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:

usos del triángulo de pascal

Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 6… ahora vamos a reemplazar el x + 4

productos notables ejemplos

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