Los productos notables son multiplicaciones “especiales” entre expresiones algebraicas cuyo resultado se puede obtener a manera de identidad sin requerir un procedimiento que verifique la multiplicación.
Dicho de otro modo… un producto notable es como una receta de cocina… con sólo mirar los ingredientes… tu ya te puedes imaginar el platillo resultante.
Productos Notables Más Comunes
Binomio conjugado
Básicamente el binomio conjugado consiste en el producto de la suma por la resta de dos cantidades. Su resultado directo es el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado. Veamos la fórmula:
Analicemos un ejemplo:
Si tenemos una suma multiplicada por una resta de dos términos… (ojo! los términos deben ser iguales en la suma y la resta)
Su resultado “directo” será el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado… y listo!
Resolviendo el 8² tendríamos
Verificación del resultado
Vamos a utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación para verificar nuestro resultado anterior:
Esto nos daría…
Cancelamos términos opuestos… y llegamos al mismo resultado
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Binomio de término común
Vamos sin rodeos, este producto notable simplemente consiste en multiplicar dos binomios que tengan un término igual o común.
Por ejemplo… (5a + 2) (5a – 7)… acá el término común es 5a. ¿Fácil cierto? Veamos la fórmula para que sepas qué hacer cuanto te encuentras con estos productos notables:
Analicemos la fórmula del binomio de término común… hay que hacer dos cosas importantes con el término diferente: sumarlos y multiplicarlos.
Luego simplemente los ubicamos en el resultado que consiste en un trinomio: iniciamos con el término común elevado al cuadrado, seguido de la suma de los diferentes que multiplica al término común y finalizamos con la multiplicación de los términos diferentes.
Veamos un ejemplo:
Acá podemos ver que el término común es x y los términos diferentes son +3 y +5. Lo que vamos a hacer es sumar y multiplicar a los diferentes.
La suma entre +3 y +5 da +8, y la multiplicación entre +3 y +5 da +15. Ahora sólo lo ubicamos de la siguiente forma:
Analicemos el trinomio del resultado…
Lo primero es elevar el término común al cuadrado.. por eso colocamos x²
Lo que sigue es tomar esa suma de +3 y +5 que nos dio +8 y multiplicarlo por el término común x… por eso colocamos 8x
Por último agarramos la multiplicación de +3 y +5 y colocamos +15… y listo!
Verifiquemos el resultado:
Vamos a utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación para verificar nuestro resultado anterior:
Operamos los términos semejantes como lo son el 5x + 3x que sabemos que da 8x y listo! obtenemos el mismo resultado
Tu decides si aplicas la fórmula del binomio de término común o si utilizas la propiedad distributiva de la multiplicación, de ambas formas obtendrás el mismo resultado:
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Binomio al Cuadrado
El primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado… básicamente así podemos recitar lo que significa resolver un binomio al cuadrado. ¿Fácil cierto?
Veamos la fórmula:
Arranquemos con un ejemplo para que lo podamos explicar mejor:
Un binomio puede ser una suma o una resta de dos términos entre paréntesis y elevados al cuadrado. En este caso la solución es así de simple:
Analicemos… el primer término es x… el segundo término es +5… la cosa se resolvió así:
El primer término al cuadrado… por eso colocamos x²
Dos veces el primero por el segundo… por eso colocamos 2 multiplicado por x y multiplicado por +5…
y finalmente el segundo término elevado al cuadrado… por eso colocamos 5² que da 25… y listo!
Comprobación del producto notable del binomio al cuadrado:
Partamos del hecho de que elevar un binomio al cuadrado es igual a multiplicarlo dos veces por sí mismo:
Ahora vamos a aplicar propiedad distributiva de la multiplicación para resolver ese producto de binomios:
Operamos los términos semejantes como lo son el 5x + 5x que sabemos que da 10x y listo! obtenemos el mismo resultado
Tu decides si aplicas la fórmula del binomio al cuadrado o si resuelves por propiedad distributiva de la multiplicación… en ambos casos da igual!
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Binomio al Cubo
Seguramente oíste a tu profe recitar el siguiente poema: el primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo. ¿Hermoso cierto? En eso consiste el binomio al cubo del cual vamos a hablar ahora.
Vamos a arrancar con ejemplos de productos notables del binomio al cubo para que lo vayas entendiendo:
Lo primero es identificar términos… el primer término es x y el segundo término es +5. Apliquemos ese bello poema que dice
El primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo
Analicemos… el primero al cubo es x³… +… tres veces el primero al cuadrado por el segundo es 3(x)²(5)… +… tres veces el primero por el segundo al cuadrado es 3(x)(5)²… +… el segundo al cubo es 5³.
Rompamos paréntesis y operemos
¿Fácil cierto? Ahora vamos a realizar la comprobación del resultado aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación.
Recuerda que elevar algo al cubo es multiplicar ese algo por sí mismo tres veces:
Apliquemos propiedad distributiva entre los dos primeros binomios de la siguiente manera:
Operamos términos semejantes que este caso son 5x + 5x lo cual da 10x
Ahora tenemos un trinomio por un binomio:
Aplicamos propiedad distributiva nuevamente:
Operamos términos semejantes:
Tu decides si aplicas el bello poema el primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo o si aplicas propiedad distributiva de la multiplicación… en ambos casos obtendrás el mismo resultado:
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Binomio de Newton y Triángulo de Pascal
El binomio de newton consiste en una fórmula que permite obtener los coeficientes de un término enésimo de un binomio elevado a un exponente determinado.
Pero en esta ocasión vamos a aprender a utilizar el Triángulo de Pascal o Tartaglia para obtener dichos coeficientes y resolver de forma sencilla cualquier enésima potencia de un binomio.
Construcción del Triángulo de Pascal
El Triángulo de Pascal, también conocido como Tartaglia, parte de tres unos ubicados de la siguiente manera:
Vamos a sumar los unos de la base y obtendremos un 2… así
Ahora procedemos a colocar un uno a lado y lado para completar la base del triángulo
Vamos a añadir otra línea más al triángulo… sumemos el 1 y 2 de la parte izquierda de la base y ubiquemos el resultado abajo:
Ahora sumemos el 2 y el 1 del lado derecho y ubiquemos el otro 3:
Para cerrar el triángulo ubicamos un uno a lado y lado de la base:
¿Le pillaste el truco? Así quedaría si añadimos un par de filas más a la base… tú decides cuánto agregar
Si deseas ver la explicación del triángulo de pascal en video da clic aquí.
¿Y qué tiene que ver el Triángulo de Pascal con los productos notables y el binomio de Newton?
No se trata de un triángulo lleno de números sin sentido sino que cada piso o línea nos va a proveer de los coeficientes numéricos que requiere un binomio elevado a la enésima potencia.
En la siguiente imagen podemos observar que la punta superior corresponde a un binomio elevado a la cero… la siguiente línea es elevado a la 1… la que sigue es elevado a la 2… y así sucesivamente:
Si aplicamos esos coeficientes numéricos a cada binomio tendríamos lo siguiente:
No se ve tan fácil todavía… ¿cierto? Vamos a explicar paso a paso una línea. Supongamos que queremos calcular la fórmula para un binomio elevado a la 4… osea… queremos obtener (a + b)4
Lo primero que debemos hacer es ubicar la línea en el triángulo y posicionar los números en ese orden
Listo ya tenemos los números ubicados. Ahora coloquemos el primer término que en este caso es a. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierdaa4… luego a3… luego a2… luego a… y el último número queda sin nada por ahora… así:
Ahora coloquemos el segundo término que en este caso es b pero ahora de izquierda a derecha. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda b4… luego b3… luego b2… luego b… y el último número queda sin la b… así:
¿Ahora sí te parece fácil?
Vamos a resolver un ejercicio del binomio de newton y triángulo de pascal:
Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 6:
El ejercicio dice (x + 4) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierdaa6… luego a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:
Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de izquierda a derechab6… luego b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:
Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 6… ahora vamos a reemplazar el x + 4
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