binomio de newton y triángulo de pascal

Binomio de Newton y Triángulo de Pascal

binomio de newton

En esta clase vamos a analizar la relación entre el Binomio de Newton y el Triángulo de Pascal.

El binomio de newton consiste en una fórmula que permite obtener los coeficientes de un término enésimo de un binomio elevado a un exponente determinado.

Pero en esta ocasión vamos a aprender a utilizar el Triángulo de Pascal o Tartaglia para obtener dichos coeficientes y resolver de forma sencilla cualquier enésima potencia de un binomio.

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Construcción del Triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal, también conocido como Tartaglia, parte de tres unos ubicados de la siguiente manera:

triángulo de pascal construcción

Vamos a sumar los unos de la base y obtendremos un 2… así

Tartaglia construcción

Ahora procedemos a colocar un uno a lado y lado para completar la base del triángulo

triángulo de pascal

Vamos a añadir otra línea más al triángulo… sumemos el 1 y 2 de la parte izquierda de la base y ubiquemos el resultado abajo:

triángulo de pascal o tartaglia

Ahora sumemos el 2 y el 1 del lado derecho y ubiquemos el otro 3:

productos notables tartaglia

Para cerrar el triángulo ubicamos un uno a lado y lado de la base:

productos notables triángulo de pascal

¿Le pillaste el truco? Así quedaría si añadimos un par de filas más a la base… tú decides cuánto agregar

triángulo de pascal y binomio de newton

Si deseas ver la explicación del triángulo de pascal en video da clic aquí.

¿Y qué tiene que ver el Triángulo de Pascal con los productos notables y el binomio de Newton?

No se trata de un triángulo lleno de números sin sentido sino que cada piso o línea nos va a proveer de los coeficientes numéricos que requiere un binomio elevado a la enésima potencia.

En la siguiente imagen podemos observar que la punta superior corresponde a un binomio elevado a la cero… la siguiente línea es elevado a la 1… la que sigue es elevado a la 2… y así sucesivamente:

binomio de newton y triángulo de pascal

Si aplicamos esos coeficientes numéricos a cada binomio tendríamos lo siguiente:

binomio de newton y triángulo de pascal o tartaglia

No se ve tan fácil todavía… ¿cierto? Vamos a explicar paso a paso una línea. Supongamos que queremos calcular la fórmula para un binomio elevado a la 4… osea… queremos obtener (a + b)4

Lo primero que debemos hacer es ubicar la línea en el triángulo y posicionar los números en ese orden

triángulo de pascal ejercicios resueltos

Listo ya tenemos los números ubicados. Ahora coloquemos el primer término que en este caso es a. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda a4… luego a3… luego a2… luego a… y el último número queda sin nada por ahora… así:

triángulo de pascal productos notables

Ahora coloquemos el segundo término que en este caso es b pero ahora de izquierda a derecha. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda b4… luego b3… luego b2… luego b… y el último número queda sin la b… así:

productos notables y triángulo de pascal

¿Ahora sí te parece fácil?

Vamos a resolver un ejercicio del binomio de newton y triángulo de pascal:

binomio de newton ejercicios resueltos

Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 6:

binomio de newton ejercicios resueltos

El ejercicio dice (x + 4) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierda a6… luego a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:

triángulo de pascal productos notables

Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de izquierda a derecha b6… luego b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:

usos del triángulo de pascal

Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 6… ahora vamos a reemplazar el x + 4

binomio de newton y triángulo de pascal ejemplos

¿Y si fuera una resta y no una suma?

Fácil!… Simplemente vamos a intercalar los signos en el resultado iniciando con positivo… luego negativo… luego positivo… y así hasta llegar al último término. Mira:

Productos notables para una resta

Veamos otro ejercicio resuelto paso a paso del binomio de newton y triángulo de Pascal:

binomio elevado a la cinco

Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 5:

Productos Notables ejercicios resueltos paso a paso

El ejercicio dice (2x³ + 3y²) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierda a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:

binomio de newton ejercicios resueltos

Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 5… vamos a ubicar de izquierda a derecha b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:

triángulo de pascal ejercicios resueltos

Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 5… ahora vamos a reemplazar el 2x³ + 3y²

tartaglia ejercicios resueltos

Otro ejemplo del binomio de newton y triángulo de Pascal

productos notables ejercicios resueltos

Dale un vistazo a los demás productos notables que explicamos para ti aquí

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