En esta clase vamos a analizar la relación entre el Binomio de Newton y el Triángulo de Pascal.
El binomio de newton consiste en una fórmula que permite obtener los coeficientes de un término enésimo de un binomio elevado a un exponente determinado.
Pero en esta ocasión vamos a aprender a utilizar el Triángulo de Pascal o Tartaglia para obtener dichos coeficientes y resolver de forma sencilla cualquier enésima potencia de un binomio.
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Construcción del Triángulo de Pascal
El Triángulo de Pascal, también conocido como Tartaglia, parte de tres unos ubicados de la siguiente manera:
Vamos a sumar los unos de la base y obtendremos un 2… así
Ahora procedemos a colocar un uno a lado y lado para completar la base del triángulo
Vamos a añadir otra línea más al triángulo… sumemos el 1 y 2 de la parte izquierda de la base y ubiquemos el resultado abajo:
Ahora sumemos el 2 y el 1 del lado derecho y ubiquemos el otro 3:
Para cerrar el triángulo ubicamos un uno a lado y lado de la base:
¿Le pillaste el truco? Así quedaría si añadimos un par de filas más a la base… tú decides cuánto agregar
Si deseas ver la explicación del triángulo de pascal en video da clic aquí.
¿Y qué tiene que ver el Triángulo de Pascal con los productos notables y el binomio de Newton?
No se trata de un triángulo lleno de números sin sentido sino que cada piso o línea nos va a proveer de los coeficientes numéricos que requiere un binomio elevado a la enésima potencia.
En la siguiente imagen podemos observar que la punta superior corresponde a un binomio elevado a la cero… la siguiente línea es elevado a la 1… la que sigue es elevado a la 2… y así sucesivamente:
Si aplicamos esos coeficientes numéricos a cada binomio tendríamos lo siguiente:
No se ve tan fácil todavía… ¿cierto? Vamos a explicar paso a paso una línea. Supongamos que queremos calcular la fórmula para un binomio elevado a la 4… osea… queremos obtener (a + b)4
Lo primero que debemos hacer es ubicar la línea en el triángulo y posicionar los números en ese orden
Listo ya tenemos los números ubicados. Ahora coloquemos el primer término que en este caso es a. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda a4… luego a3… luego a2… luego a… y el último número queda sin nada por ahora… así:
Ahora coloquemos el segundo término que en este caso es b pero ahora de izquierda a derecha. Como la cosa es elevar a la 4… vamos a ubicar de derecha a izquierda b4… luego b3… luego b2… luego b… y el último número queda sin la b… así:
¿Ahora sí te parece fácil?
Vamos a resolver un ejercicio del binomio de newton y triángulo de pascal:
Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 6:
El ejercicio dice (x + 4) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierda a6… luego a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:
Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de izquierda a derecha b6… luego b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:
Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 6… ahora vamos a reemplazar el x + 4
¿Y si fuera una resta y no una suma?
Fácil!… Simplemente vamos a intercalar los signos en el resultado iniciando con positivo… luego negativo… luego positivo… y así hasta llegar al último término. Mira:
Veamos otro ejercicio resuelto paso a paso del binomio de newton y triángulo de Pascal:
Veamos… en este caso toca ubicar el piso o línea de números que corresponde al binomio elevado a la 5:
El ejercicio dice (2x³ + 3y²) pero vamos a crear la fórmula general utilizando (a + b) y luego si reemplazamos. Como la cosa es elevar a la 6… vamos a ubicar de derecha a izquierda a5… luego a4… luego a3… luego a2… luego a y el último número queda sin nada por ahora… así:
Ahora vamos a ubicar a la b. Como la cosa es elevar a la 5… vamos a ubicar de izquierda a derecha b5… luego b4… luego b3… luego b2… luego b… así:
Ya tenemos lista la fórmula del binomio elevado a la 5… ahora vamos a reemplazar el 2x³ + 3y²
Otro ejemplo del binomio de newton y triángulo de Pascal
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