Si lo tuyo es observar la clase en vídeo, te invitamos a ver Aprende a Resolver Ecuaciones Cuadráticas por Factorización en nuestro Canal de YouTube.
La fórmula cuadrática es una herramienta fundamental en matemáticas para resolver ecuaciones cuadráticas. En este clase, te enseñaremos cómo calcular la solución de una ecuación cuadrática utilizando técnicas de FACTORIZACIÓN!
Raíces Cuadráticas por Factorización
Ya debes saber que una ecuación cuadrática viene dada de la siguiente forma
Recuerda que a, b y c son valores numéricos cualesquiera, incluyendo el cero, a excepción de a, cuyo valor debe ser SIEMPRE DIFERENTE DE CERO. Si a vale cero se nos cancela el x² que es lo que representa la propiedad CUADRÁTICA… viene de CUADRADO… no podemos eliminar el término que tiene el elevado al cuadrado.
Ahora analicemos los posibles casos de factorización que podemos utilizar para hallar la solución de x.
Caso 1: Cuando b = 0
En este caso la ecuación cuadrática se ve reducida a la siguiente expresión:
Este caso es muy sencillo, se nos fue una x con la b=0, por lo tanto sólo vamos a despejar esa x que está elevada al cuadrado para hallar su solución. Veamos:
Ahora veamos las restricciones… o mejor dicho el DOMINIO… o muchísimo mejor dicho… veamos QUÉ VALORES PUEDE TOMAR X.
En matemáticas sabemos que cuando algo está METIDO en una RAÍZ CUADRADA hay ciertas condiciones que deben cumplirse para que tenga un resultado… real. En este caso lo que está METIDO en la RAÍZ es -c/a.
El valor de a nunca debe ser CERO… pero el valor de c sí puede ser CERO… cuando eso pasa, simplemente decimos que x vale cero, porque la raíz de cero es… cero. NO puede tener otra solución diferente.
Ahora bien… si al resolver -c/a obtenemos un resultado negativo… TENEMOS UN PROBLEMA GRANDE… no hay raíz cuadrada REAL para números negativos… Es decir que NO EXISTE SOLUCIÓN PARA X. Por lo tanto la parábola no cortará jamás al eje X.
Por otra parte, si al resolver -c/a obtenemos un resultado positivo… TENEMOS UN DOBLE RESULTADO… toda raíz cuadrada REAL para números positivos tiene dos posibles resultados completamente válidos, uno negativo y el otro positivo. Por lo tanto la parábola cortará al eje X en dos valores, uno negativo y otro positivo.
Ejemplo paso a paso de resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0
En la gráfica anterior vemos representada la ecuación 2x² + 4. Podrás darte cuenta de algo particular… NO CORTA AL EJE HORIZONTAL... NO CORTA AL EJE X. Sólo corta al EJE Y en el valor de c = 4. Observa:
¿Por qué no corta al eje X?
Simple, al resolver -c/a se obtuvo un resultado negativo… cuya RAÍZ CUADRADA no es REAL… por lo tanto, no corta al eje X… observa el procedimiento:
¿Y qué pasa si c también es igual a CERO? Simple, gráficamente la parábola pasará por el origen. Observa el siguiente ejemplo:
Ya entrados en gastos coloquemos un ejemplo cuando -c/a nos da un resultado POSITIVO. Recuerda que en este caso se corta a X a lado y lado de forma SIMÉTRICA respecto al eje Y (el eje vertical actúa como un espejo). Observa:
Caso 2: Cuando c = 0. Factor común
En este caso la ecuación cuadrática se ve reducida a la siguiente expresión:
Ambos términos tienen en COMÚN la variable x… Saquemos factor común:
Ahora tenemos dos FACTORES… es decir… dos cosas que se están multiplicando y su resultado es igual a CERO… por lo tanto si cualquiera de ellas da CERO… hace que la multiplicación de como resultado CERO. Por ende tendremos dos soluciones para x:
Una solución siempre será CERO, y la otra será el resultado de -b/a.
Veamos un ejemplo de ecuación cuadrática cuando c = 0.
Te invitamos a ver nuestra clase de FACTOR COMÚN aquí.
Veamos otro ejemplo que te permita aprender a resolver ecuaciones cuadráticas por factorización utilizando el factor común:
Caso 3: Cuando a = 1. Producto de binomios.
Ten en cuenta que la expresión de una ecuación cuadrática cuando a = 1 se puede forzar dividiendo toda la ecuación entre el valor de a.
Veamos un ejemplo de factorización del producto de binomios.
Debemos saber leer los signos y actuar conforme a ello. Cuando es POSITIVO… buscamos que SUMADOS… cuando es NEGATIVO… buscamos que RESTADOS… Pero… ¿Cuál signo? Debes identificar el SIGNO del valor de c. En este caso es el signo que acompaña al SEIS.
Debemos buscar DOS NÚMEROS que al SUMARSE me den como resultado el valor de b… es decir… que SUMADOS den 5.
Pero hay otra condición… que esos mismos números al MULTIPLICARSE den como resultado el valor de c… es decir… que MULTIPLICADOS den 6.
Creo que ya tienes en mente los números… ¿Cierto?
Ambos números, POSITIVOS, sumados dan 5 y al multiplicarse dan 6… por lo tanto podemos expresar la ecuación cuadrática como el siguiente producto de binomios:
Ambos factores que están en paréntesis, corresponden cada uno a una solución para la variable x. Sólo debemos igualar cada uno de ellos a cero y despejar los valores de x donde la curva cortará el eje horizontal.
Entonces la parábola cortará al eje X en -2 y -3. Observa:
Te dejamos por acá un ejemplo donde la cosa sea RESTADOS y no SUMADOS… para que analices cómo sería el asunto:
¿Y si a es diferente de 1? ¿Cómo era? Veamos un ejemplo:
Recuerda que debemos dividir TODA la ecuación cuadrática entre el valor de a para hacer que su valor se cancele y termine siendo igual a 1. Así:
Ahora vamos a resolver esa ecuación cuadrática por factorización del producto de binomios tal cual y como ya sabemos hacerlo:
Caso 4: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización del trinomio cuadrado perfecto.
Lo primero que debemos hacer en este caso es validar que se trate de un trinomio cuadrado perfecto. Para ello nos aseguramos de que la raíz cuadrada de a y de c al multiplicarse entre sí y por 2, vamos a obtener como resultado el valor de b. Así:
Veamos un ejemplo de ecuación cuadrática y verifiquemos que sea trinomio cuadrado perfecto.
Ahora construyamos un BINOMIO AL CUADRADO. Como el 20x tiene signo positivo, estamos hablando de una SUMA. Si fuese negativo pues sería una RESTA. En este caso nos quedamos con la SUMA. ¿Suma de qué?
El 2 es la raíz del 4 que acompaña al término x², por lo tanto lo escribiremos como 2x porque la raíz cuadrada de x² es x. Ya tenemos el primer término: 2x. Ahora el segundo término… ese es simplemente el 5 que obtuvimos de la raíz de 25.
Listo, ya podemos expresar nuestra suma al cuadrado:
Por último, simplemente debemos igualar a cero y despejar el valor de x. Te darás cuenta que obtendremos UN SOLO VALOR, por lo tanto la parábola sólo TOCA al eje horizontal en UN PUNTO, que vendría siendo el vértice de la curva. Para este caso x es igual a 2.5. Observa:
Veamos otro ejemplo para aprender a resolver ecuaciones cuadráticas por factorización del trinomio cuadrado perfecto:
¿No te convence esto de utilizar la factorización para obtener soluciones de la ecuación cuadrática? En ese caso puedes optar por la fórmula general, ¡aquí verás su demostración paso a paso!
¿Te gustó la clase de APRENDE A RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN?
¿QUIERES VER NUESTRA APP CALCULADORA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS? Da clic aquí y te direccionaremos a nuestra app en la PlayStore
Nuevas clases disponibles! Tal vez te puedan servir las siguientes clases:
Distribución de Frecuencias para Datos agrupados, Media mediana y moda para datos agrupados, Cuartiles Deciles y Percentiles para datos agrupados
¿Buscas una app gratuita con Calculadoras de Trigonometría? Nosotros la tenemos!
¿Sabías que tenemos varias app que pueden ayudarte con tus tareas?
Descubre una gran colección de herramientas para echarte una mano con los deberes de Matemáticas, Física, Trigonometría y Geometría!
Si lo tuyo es ir directo al grano… aquí tenemos el enlace de descarga!!
Nuestra App es gratuita y la puedes buscar en la tienda de aplicaciones de Google Play en tu teléfono Android con el nombre de Ayudante de Tareas (lo sentimos pero todavía no estamos disponibles para dispositivos iOS… pronto!)
¿Problemas con estadística?
Descargar GRATIS nuestra CALCULADORA DE ESTADÍSTICA
