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¿Cómo se calculan la Media Mediana y Moda para Datos Agrupados?
Se conocen como Medidas de Tendencia Central y para esta explicación vamos a retomar el ejemplo que utilizamos para la elaboración de la tabla de Distribución de Frecuencias para Datos Agrupados
Vamos directo al punto con el ejemplo: Se consultó a 50 personas sobre su edad y estos fueron los resultados que representamos en una tabla de frecuencias para datos agrupados.
Media Aritmética para Datos Agrupados
La media aritmética también se conoce como PROMEDIO, y básicamente se calcula como la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Pero esto aplica para datos sueltos… es decir… NO AGRUPADOS…
Para los datos agrupados debemos considerar con un valor REPRESENTATIVO de cada intervalo que se denomina MARCA DE CLASE y asumir que TODAS las cantidades de la frecuencia absoluta se ven representadas por ese valor.
Analicemos el primer intervalo de nuestro ejemplo: Debemos asumir que esas 5 personas tienen 14.5 años
Analicemos el segundo intervalo de nuestro ejemplo: Debemos asumir que esas 11 personas tienen 23.5 años
Y así para todos los intervalos de la tabla.
La formula para calcular la media aritmética en datos agrupados es la siguiente:
La media se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el total de ellos. Pero para datos agrupados asumimos que por ejemplo en el primer intervalo esas 5 personas todas tienen 14.5 años… entonces queda más práctico multiplicar 5×14.5 o lo que es lo mismo 14.5+14.5+14.5+14.5+14.5.
Vamos a realizar ese mismo procedimiento para cada intervalo, multiplicar marca de clase (xi) por frecuencia absoluta (fi) y colocamos el resultado en una nueva columna a la derecha:
El siguiente paso será sumar todos los datos de esa columna porque la fórmula indica que es una sumatoria con el símbolo Σ. Por lo tanto añadimos una fila con el total correspondiente:
Ya tenemos la sumatoria de todas las multiplicaciones entre marca de clase y frecuencia absoluta. Reemplacemos en nuestra fórmula, recordando que n corresponde al total de datos (en este caso fueron 50 datos, por lo tanto n = 50)
Eso es todo, sólo debes multiplicar cada marca de clase (xi) por su frecuencia absoluta (fi), luego sumar todos esos resultados… y por último dividir entre el total de datos.
En este caso ya podemos afirmar que de las 50 personas encuestadas, el promedio de edad es de 40.78 años.
Moda para Datos Agrupados
Su mismo nombre lo indica… ¿Cuál es la tendencia? ¿Cuál edad estará de moda en nuestro ejemplo?
Si fuesen datos NO AGRUPADOS, fácilmente diríamos que la moda es el dato que más se repite sin realizar ningún cálculo ni operación matemática.
Pero como nuestro interés es calcular la moda para datos agrupados… debemos utilizar la siguiente fórmula:
La moda se simboliza como Mo y nuestro primer paso será identificar el intervalo modal.
Es muy sencillo, el intervalo modal corresponde a aquel que posee la frecuencia absoluta más alta.
Para nuestro ejemplo el modal sería el segundo intervalo ya que tiene frecuencia absoluta de 11
Teniendo identificado el intervalo modal, vamos a analizar cada término de la fórmula para calcular la moda
Li es el límite inferior del intervalo modal, en este caso vale 19.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo modal, en este caso vale 11.
fi-1 es la frecuencia absoluta anterior al intervalo modal, en este caso vale 5.
fi+1 es la frecuencia absoluta siguiente al intervalo modal, en este caso vale 8.
A es la amplitud del intervalo modal, en este caso vale 9 porque el intervalo va de 19 a 28 años… es decir hay una distancia de 9 años allí.
Por si no te quedó claro lo de la frecuencia absoluta anterior y siguiente, así se identifican:
Listo, ahora reemplacemos los datos en la fórmula y calculemos la edad de moda
Todo parece indicar que para nuestro ejemplo, está de moda tener 25 años.
Mediana para Datos Agrupados
De nuestro ejemplo sabemos que las 50 personas se mueven en un rango de edad que va desde 10 años el más joven y hasta 73 años el más adulto.
La mediana sería esa edad hasta la cual acumulo el 50% de las personas y después de la cuál tengo el otro 50%.
Entonces, desde los 10 años hasta la Mediana hay 25 personas…. y desde la Mediana hasta los 73 años están las otras 25 personas…
La Mediana (Me) la calculamos con la siguiente fórmula:
Li es el límite inferior del intervalo de la mediana.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana.
Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo de la mediana.
N es el número total de datos del ejercicio, en este caso vale 50.
A es la amplitud de los intervalos y en este caso vale 9 años.
Vamos a identificar el intervalo de la mediana para poder obtener los datos que necesitamos.
La idea es partir mitad y mitad la cantidad de personas en un valor… lo primero es obtener esa mitad:
Vamos a apoyarnos en la columna de frecuencias absolutas acumuladas para descubrir en cuál intervalo tenemos metida a la persona número 25
En el tercer intervalo teníamos hasta la persona número 24, en cambio en el cuarto intervalo tenemos a las personas 25, 26, 27, 28 y 29, por lo tanto ese es el que nos sirve.
Identificamos datos y reemplazamos en la fórmula:
Esto significa que desde los 10 años hasta los 38.8 años hay 25 personas…. y desde los 38.8 años hasta los 73 años están las otras 25 personas…
El ejemplo anterior lo puedes validar en nuestra calculadora de estadística. Descárgala gratis y dale un vistazo.
¡ESO ES TODO!
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Muy buen trabajo claro y preciso, muchas gracias desde Bolivia-Santa Cruz
¡Excelente! Gracias profesor. Lástima que no hay má tiempo disponible para continuara observando los videos insructivos.
Buen resumen, se entiende todo.
Buen trabajo, porque se puede entender muy bien. Excelente! Saludos desde Perú :V