Recordemos que una función cuadrática es aquella que está determinada por una ecuación de segundo grado de la forma
donde a b y c son números reales con
Ecuaciones cuadráticas: factorización, completar el cuadrado y fórmula general
Identifica a, b y c, resuelve las incompletas, factoriza y aplica la fórmula general con el discriminante, paso a paso y con datos que cambias con un clic. Ejercicios con la solución al instante y evaluación final, listos para proyectar en clase.
¿Qué es una raíz cuadrática?
Las raíces hacen alusión a aquellos valores que logran que una función o polinomio tome valor cero. Por esta razón también es común decir que se están calculando los ceros de la función o los puntos de corte con el eje X.
En otras palabras, las raíces de una función cuadrática son los valores de X que satisfacen la siguiente ecuación
Fórmula General
Es la también llamada Chicharronera, vista por muchos como la fórmula por excelente para calcular las raíces de una función cuadrática.
Su uso consiste en reemplazar los valores de los coeficientes numéricos de la función representados por a b y c.
Veamos algunos casos y formas de calcular las raíces cuadráticas y corroboraremos cada resultado con la utilización de la fórmula general implementando nuestra aplicación Raíces Cuadráticas disponible para dispositivos Android ( Descargar App)
Caso 1 – Raíz Cuadrada
Es aplicable a funciones de la forma
Consiste en despejar la variable x expresando sus raíces como una raíz cuadrada:
Veamos un ejemplo: Calcular las raíces de la función
Igualamos a cero y despejamos a x
Esta función posee dos raíces que vienen dadas por las dos posibilidades existentes del signo más o menos
Resolviendo la raíz cuadrada tendríamos que los ceros de la función son:
Verificación de la solución aplicando la fórmula general en la app
Introducimos los valores de a b y c
En la captura de pantalla podemos observar que las raíces de la función cuadrática si son 4 y -4
Caso 2 – Factorización simple (Factor común)
Es aplicable a funciones cuadráticas de la forma
Consiste en igualar a cero y aplicar factor común x de la siguiente manera
Se procede a separar los factores para obtener las dos soluciones posibles:
Por un lado, tenemos la solución x = 0 , y por el otro:
Las soluciones en este caso son
Veamos un ejemplo: Calcular las raíces de la función
Aplicamos factor común x (también es válido usar factor común 5x)
Igualo factores a cero por separado:
Por un lado, ya tenemos la solución x = 0 , y por el otro:
Por lo tanto, los ceros o raíces de la función cuadrática son:
Verificación de la solución aplicando la fórmula general en la app
Introducimos los valores de a b y c
En la captura de pantalla podemos observar que las raíces de la función cuadrática si son 0 y -2.
Caso 3 – Factorización Producto de Binomios
Aplica cuando a = 1 . En caso de no serlo se procede a dividir toda la ecuación entre a para obtener la forma
Consiste en encontrar dos números que sumados de b y multiplicados den c.
Veamos un ejemplo: Calcular las raíces de la función
Igualamos la función a cero
Identificamos los valores de b y c
Busca dos números que sumados den -5 y multiplicados den 6. Los números adecuados son -2 y -3 ya que
La factorización producto de binomios queda de la siguiente manera:
Se procede a separar los factores igualados a cero para obtener las dos soluciones posibles:
Verificación de la solución aplicando la fórmula general en la app
Introducimos los valores de a b y c
En la captura de pantalla podemos observar que las raíces de la función cuadrática si son 3 y 2.
Caso 4 – Factorización Trinomio Cuadrado Perfecto
Aplica para funciones cuadráticas de la forma
Se verifica que se trate de un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se debe cumplir que al multiplicar 2 por el producto de las raíces cuadradas de a y c, den como resultado b (sin tomar en cuenta el signo).
Si se cumple entonces la factorización del trinomio será el binomio al cuadrado formado por las raíces de a y c y el signo que tiene b.
Veamos un ejemplo: Calcular las raíces de la función
Igualamos la función a cero y validamos que cumpla con los requisitos para ser un trinomio cuadrado perfecto:
Expresamos la función como un binomio al cuadrado:
Al tener un binomio al cuadrado significa que la función se compone del producto de dos factores iguales, y por ende, ambas raíces tendrán un mismo y único valor que consiste en igualar el binomio a cero y despejar el valor de x
Verificación de la solución aplicando la fórmula general en la app
Introducimos los valores de a b y c
En la captura de pantalla podemos observar que las raíz de la función cuadrática es -0.625
¿Todavía no lo tienes claro? Te invito a darle un vistazo a esta vídeo clase. Allí encontrarás una explicación más detallada y te podrás dar cuenta de lo sencillo que es:
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