En esta clase aprenderás a diferenciar entre combinación permutación o variación con ejemplos resueltos paso a paso! También puedes encontrar esta clase en vídeo en nuestro Canal de YouTube
Antes de arrancar vamos a dejar claras algunas definiciones:
¿Qué es una permutación?
Es la disposición de todos los elementos en un orden determinado
¿Qué es una variación?
Es la disposición de una parte del total de elementos en un orden determinado
¿Qué es una combinación?
Es la disposición de una parte del total de elementos sin tener en cuenta el orden.
Hasta aquí ya tenemos una primera forma de diferenciar entre combinación permutación o variación… EL ORDEN!
A las permutaciones y variaciones sí les importa el orden, en cambio a las combinaciones no les importa el orden.
Expresiones o fórmulas para calcular combinaciones, permutaciones y variaciones:
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y variaciones?
Básicamente un permutación nos dice de cuántas formas podemos ordenar TODOS los elementos que tenemos a disposición, y una variación nos dice de cuántas formas podemos ordenar UNA PARTE de los elementos que tenemos a disposición. De por sí las permutaciones son una forma de variaciones, por lo tanto es normal encontrar el uso de la P y no de la V en algunos libros para sus fórmulas.
¿Qué es el Principio Multiplicativo?
Si hablamos de permutaciones y variaciones, tenemos que hablar también del principio multiplicativo.
El principio multiplicativo establece que si un suceso se puede realizar de n formas diferentes y luego se puede realizar otro suceso de m formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir es igual a n×m.
Ejemplo:
El problema dice de cuántas formas podemos ORDENAR… ya que el orden importa significa que estamos ante una permutación o tal vez una variación.
Resulta que queremos ordenar las 4 figuras de las que disponemos… es decir… queremos ordenar todos los elementos que tenemos a disposición! Por lo tanto, estamos ante una PERMUTACIÓN.
Para resolver una permutación aplicamos su fórmula del factorial
El valor de n es 4 porque son la cantidad de elementos de los que disponemos. Pero… ese signo de admiración (!)… ¿Qué es eso? ¿Cómo resuelvo 4!?
¿Cómo se calcula el factorial de un número?
El factorial de un número se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Por lo tanto el factorial de 4 sería:
Eso significa que tenemos 24 formas de ordenar 4 figuras.
¿Cómo resuelvo una permutación por el principio multiplicativo?
Retomemos el ejemplo de ordenar 4 figuras.
Para elegir la secuencia me tengo que enfocar en la cantidad de posiciones, en este caso son 4
Para elegir la figura que va en la primera posición tengo 4 opciones obviamente, por lo tanto, arranco con un 4
Para elegir la figura que va en la segunda posición tengo 3 opciones porque ya he puesto una de las cuatro que tenía en la primera posición. Por lo tanto, ahora coloco un 3
Para elegir la figura que va en la tercera posición tengo 2 opciones porque ya he puesto dos de las cuatro que tenía en la primera y segunda posición. Por lo tanto, ahora coloco un 2
Por último, para elegir la figura que va en la cuarta posición tengo 1 opción que sería la última figura que me queda después de haber ubicado la primera, segunda y tercera posición. Por lo tanto, ahora coloco un 1 y procedo a multiplicar
En definitiva iba a obtener que son 24 formas en las que puedo armar la secuencia de 4 figuras diferentes.
Más ejemplos de permutación
¿De cuántas formas puedo ordenar 5 figuras diferentes?
¿De cuántas formas puedo ordenar 6 figuras diferentes?
¿De cuántas formas puedo ordenar 7 figuras diferentes?
Ejemplos de variaciones sin repetición
Resolvamos el siguiente problema:
Estamos ante una variación porque queremos ordenar UNA PARTE (dos) del TOTAL (cinco) de elementos (figuras).
Apliquemos la fórmula:
En este caso n vale 5 por ser el total de elementos y r vale 2 porque es la cantidad de elementos que queremos seleccionar para ordenar.
En total tengo 20 de formas de ordenar 2 elementos de entre 5 posibles figuras.
¿Cómo lo hubiera resuelto por principio multiplicativo?
Hagamos esta variación gráficamente para analizar el principio multiplicativo.
Para elegir la primera figura disponemos de 5 opciones
Una vez elegida cualquiera de las cinco figuras, tendríamos sólo 4 opciones para la segunda posición. Así:
Para la primera posición tengo 5 opciones… para la segunda me quedan 4 opciones…. entonces…
Ejemplos de variaciones con repetición
Resolvamos el siguiente problema:
Apliquemos la fórmula:
En este caso n vale 5 por ser el total de elementos y r vale 2 porque es la cantidad de elementos que queremos seleccionar para ordenar.
¿Cómo lo hubiera resuelto por principio multiplicativo?
Hagamos esta variación gráficamente para analizar el principio multiplicativo.
Para elegir la primera figura disponemos de 5 opciones
Una vez elegida cualquiera de las cinco figuras, tendríamos otra vez 5 opciones para la segunda posición porque SÍ PODEMOS REPETIR FIGURA. Así:
Para la primera posición tengo 5 opciones… para la segunda tengo también 5 opciones…. entonces…
Ejemplos de combinaciones sin repetición
Resolvamos este problema de combinaciones:
Obviamente no se puede repetir jugador en un equipo… ni que los pudiéramos clonar!
Apliquemos la fórmula:
En este caso n vale 20 por ser el total de alumnos y r vale 5 porque es la cantidad de jugadores que queremos seleccionar para armar el equipo.
Es lógico que este caso usamos las combinaciones porque NO IMPORTA EL ORDEN.
Resolvamos:
Ejemplos de combinaciones con repetición
Resolvamos este problema:
Aplicamos la fórmula:
En este caso n vale 5 por ser el total de sabores y r vale 3 porque es la cantidad de sabores que queremos seleccionar para armar el helado.
Es lógico que este caso usamos las combinaciones porque NO IMPORTA EL ORDEN.
Resolvamos:
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