Si deseas descubrir qué son las permutaciones y ejemplos de ejercicios resueltos en vídeo, te invitamos a darle un vistazo a esta clase en nuestro canal de YouTube
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¿Qué son las Permutaciones?
Básicamente las permutaciones son la cantidad de formas ORDENADAS en que se pueden seleccionar cierto número de elementos.
¿Pero cuál es la diferencia entre permutación y combinación?
Si deseas dale un vistazo a nuestra clase detallada sobre la diferencia entre combinaciones y permutaciones. Clic aquí.
Veamos un ejemplo para dejar claro qué son las permutaciones
Tenemos cuatro figuras y queremos saber de cuántas formas diferentes podemos ordenarlas en secuencia
Seguramente tu primera idea será hacerlo manual y contar de cuántas formas podrías ordenar las figuras… algo así:
Son sólo cuatro figuras y seguramente ya te habrás dado cuenta que no son pocas las formas de ordenarlas en secuencia… imagínate si fueran 10 figuras!
Veamos un método ordenado de calcular la cantidad de formas posibles de armar las secuencias posibles
Diagrama árbol y principio multiplicativo
Supongamos que seleccionamos el triángulo como primer figura de la secuencia:
Si ya elegimos una figura de las cuatro que teníamos… significa que quedan tres posibles opciones para la segunda figura:
Habiendo elegido la segunda figura en cualquier opción posible, luego tendremos sólo dos figuras más ara elegir la tercer figura:
Por último, para elegir la última figura sólo tenemos una única opción en cada caso:
Cada posible secuencia corresponde a cada rama de nuestro diagrama árbol. Por lo pronto tenemos SEIS RAMAS considerando que empezamos por el triángulo amarillo.
Pero… ¿y si hubiéramos iniciado con el círculo rojo? ¿o con el cuadrado verde? ¿o con el hexágono azul? Veamos:
¿Cuántas ramas puedes contar?
¿Y qué es eso del principio multiplicativo?
Bueno… es otra forma de resolver nuestro problema sin tener que dibujar un diagrama de árbol inmenso. Veamos el paso a paso
Para elegir la primer figura tenemos cuatro opciones… entonces consideramos un 4
Para elegir la segunda figura tenemos tres opciones porque ya habíamos tomado la primera… entonces consideramos un 4×3 como la cantidad de formas de seleccionar la primera y segunda figura.
Para elegir la tercer figura tenemos dos opciones porque ya habíamos tomado la primera y la segunda… entonces consideramos un 4x3x2 como la cantidad de formas de seleccionar la primera, la segunda y la tercer figura.
Para elegir la cuarta figura tenemos una única opción porque ya habíamos tomado la primera, la segunda y la tercera… entonces consideramos un 4x3x2x1 como la cantidad de formas de seleccionar la primera, la segunda, la tercer y la cuarta figura.
Multiplicamos… ¡y listo!
¿Y si usamos el factorial para calcular la cantidad de formas de ordenar cierto número de elementos?
¿Qué es el factorial de un número?
Para nuestro problema anterior teníamos CUATRO figuras que queríamos ordenar de tantas formas como fuera posible y con calcular el FACTORIAL DE CUATRO podríamos calcularlo fácilmente:
El signo de admiración ! en matemáticas significa la operación factorial.
¿Cómo se calcula el factorial de un número?
Es muy sencillo, lo que tienes que hacer es multiplicar todos los números enteros que hay hacia atrás desde él mismo hasta el 1.
Ejemplos de permutaciones utilizando el factorial de un número:
¿De cuántas formas puedo ordenar cinco figuras distintas? Usamos el factorial de 5!
¿De cuántas formas puedo ordenar seis figuras distintas? Usamos el factorial de 6!
¿De cuántas formas puedo ordenar siete figuras distintas? Usamos el factorial de 7!
¿Qué pasa si quiero ordenar UNA PARTE de los elementos y NO TODOS?
Vamos a presentarte la fórmula de las permutaciones, ¡pero no te vayas a asustar! Es muy fácil calcular las permutaciones sin aprendérsela de memoria
Arranquemos con un ejemplo para utilizarla
Tenemos cinco opciones para elegir la primer figura… si elijo la estrella… mis opciones para la segunda figura serían cuatro: estrella y esfera… estrella y sharingan… estrella y Onepiece… estrella y Dark Vader.
Si elijo primero cualquiera de las demás… tendría estas posibilidades
Si contamos la cantidad de posibles formas de elegir dos figuras… en total tenemos 20… ¿lo pillas?
Apliquemos principio multiplicativo: Para la primer figura tengo cinco opciones… luego para la segunda sólo tengo cuatro opciones… entonces…
¿Y la fórmula? Bueno… también dará 20 formas. Veamos:
Recuerda cancelar los términos que multiplican arriba y abajo de la fracción:
¿Fácil cierto?
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