Combinaciones, Permutaciones y Variaciones: Guía Completa + Calculadora 🧮

🧮 ¿Siempre te confundes entre combinaciones, permutaciones y variaciones? Aquí encontrarás la guía más completa y clara en español: definiciones, fórmulas, ejemplos resueltos paso a paso y una calculadora interactiva gratuita para que nunca más te equivoques.

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📌 La clave para no confundirte nunca más: EL ORDEN

Antes de entrar en fórmulas y ejemplos, hay una pregunta que lo cambia todo: ¿importa el orden en el que se colocan los elementos? Esa única pregunta te dice de inmediato con qué tipo de problema estás trabajando.

🔀

PERMUTACIÓN

Ordenas TODOS los elementos disponibles. El orden importa.

P(n) = n!

📐

VARIACIÓN

Ordenas UNA PARTE del total de elementos. El orden importa.

V(n,r) = n! / (n−r)!

🎲

COMBINACIÓN

Seleccionas una parte. El orden NO importa.

C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!)

diferencias entre combinación permutación y variación

📖 ¿Qué es una Permutación?

Una permutación responde a la pregunta: ¿de cuántas maneras distintas puedo ordenar un conjunto completo de elementos? Se usa cuando utilizas todos los elementos disponibles y el orden en que se colocan sí marca la diferencia.

Su fórmula se basa en el factorial: el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n.

📐 Fórmula de la Permutación:

P(n) = n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

n = cantidad total de elementos a ordenar

💡 Ejemplo clásico: ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 4 figuras geométricas diferentes? Como se usan todas las figuras y el orden importa, es una permutación: P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas.

fórmulas para calcular permutaciones combinaciones y variaciones

📖 ¿Qué es una Variación?

Una variación responde a: ¿de cuántas maneras puedo seleccionar y ordenar una parte del total de elementos? La diferencia con la permutación es que aquí no usas todos los elementos, solo un subconjunto, pero el orden sigue siendo relevante.

📐 Fórmula de la Variación sin repetición:

V(n,r) = n! / (n − r)!

n = total de elementos | r = cantidad que seleccionas

📐 Fórmula de la Variación con repetición:

VR(n,r) = n^r

💡 Ejemplo: Tienes 5 figuras y quieres saber de cuántas formas puedes ordenar 2 de ellas (sin repetir). Como ordenas una parte (2 de 5) y el orden importa, es variación sin repetición: V(5,2) = 5! / (5−2)! = 120 / 6 = 20 formas.

diferencia entre permutaciones y variaciones

📖 ¿Qué es una Combinación?

Una combinación responde a: ¿de cuántas maneras puedo elegir un grupo de elementos cuando no importa el orden? Es el caso más frecuente en la vida real: seleccionar un equipo, elegir ingredientes, formar comités… situaciones donde lo que importa es quién está en el grupo, no en qué posición.

📐 Fórmula de la Combinación sin repetición:

C(n,r) = n! / (r! × (n − r)!)

n = total de elementos | r = cantidad que seleccionas

📐 Fórmula de la Combinación con repetición:

CR(n,r) = (n + r − 1)! / (r! × (n − 1)!)

💡 Ejemplo clásico: Andrea tiene 12 camisetas y solo puede llevar 3 al viaje. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? Como no importa el orden (llevar la verde, roja y azul es igual que llevar la azul, roja y verde), es combinación sin repetición: C(12,3) = 12! / (3! × 9!) = 220 formas.

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n — Total de elementos

🗂️ Tabla resumen: ¿cuándo uso cada una?

Tipo	¿Importa el orden?	¿Usas todos los elementos?	Ejemplo rápido
🔀 Permutación	✅ Sí	✅ Sí (todos)	¿De cuántas formas se puede ordenar un podio con 5 corredores?
📐 Variación sin rep.	✅ Sí	❌ No (parte)	¿De cuántas formas elijo presidente, vicepresidente y tesorero de 10 personas?
📐 Variación con rep.	✅ Sí	❌ No, con rep.	¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos del 0–9 hay si se puede repetir?
🎲 Combinación sin rep.	❌ No	❌ No (parte)	¿De cuántas maneras elijo 3 personas de un grupo de 10 para un comité?
🎲 Combinación con rep.	❌ No	❌ No, con rep.	¿Cuántos helados de 3 bolas puedo pedir con 5 sabores disponibles?

✏️ Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1 — Combinación sin repetición: Andrea tiene 12 camisetas distintas y solo puede llevar 3 al viaje. ¿De cuántas maneras puede elegirlas?

ejemplo de combinatoria - Andrea tiene 12 camisetas y elige 3

Para identificar el tipo de problema hacemos dos preguntas: ¿puede repetir camiseta? No, porque son prendas físicas diferentes. ¿Importa el orden? No, porque llevarse {verde, roja, azul} es idéntico a {azul, verde, roja}. Conclusión: Combinación sin repetición.

resolución paso a paso combinación sin repetición camisetas

✅ Respuesta: 220 maneras distintas de elegir las 3 camisetas.

Ejemplo 2 — Combinación sin repetición: De un grupo de 10 estudiantes, se quiere formar un comité de 3. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

¿Importa el orden? No, porque el comité {Ana, Luis, Pedro} es el mismo que {Pedro, Ana, Luis}. Usamos C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = 3628800 / (6 × 5040) = 3628800 / 30240 = ✅ 120 maneras.

Ejemplo 3 — Permutación: ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 6 libros en una estantería?

Se usan todos los libros y el orden importa (libro A en posición 1 ≠ libro A en posición 3). Es una permutación: P(6) = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ✅ 720 formas.

Ejemplo 4 — Variación sin repetición: Tienes 5 figuras y quieres crear secuencias de 2. ¿Cuántas secuencias distintas puedes hacer?

variación sin repetición ejemplo resuelto

Usas solo 2 de 5 y el orden importa (A→B ≠ B→A). Variación sin repetición: V(5,2) = 5! / 3! = 120 / 6 = ✅ 20 secuencias.

Ejemplo 5 — Combinación con repetición: En una heladería hay 5 sabores. Quieres un helado de 3 bolas y puedes repetir sabores. ¿Cuántas combinaciones hay?

combinaciones con repetición helados ejemplo

El orden no importa (chocolate-fresa-fresa = fresa-chocolate-fresa) y sí hay repetición. CR(5,3) = (5+3−1)! / (3! × 4!) = 7! / (6 × 24) = 5040 / 144 = ✅ 35 combinaciones.

💡 Truco definitivo: 3 preguntas para identificar el tipo

Cuando te enfrentes a un problema, hazte estas 3 preguntas en orden:

1️⃣ ¿Uso TODOS los elementos o solo UNA PARTE?
→ Todos = Permutación | Parte = Variación o Combinación

2️⃣ ¿Importa el ORDEN en que se colocan?
→ Sí importa = Variación | No importa = Combinación

3️⃣ ¿Se puede REPETIR un mismo elemento?
→ Define si aplicas la fórmula con o sin repetición

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