En esta clase exploraremos sobre las líneas notables en un triángulo: mediatriz, mediana, bisectriz y altura; así como también aprenderemos como se forman los puntos notables: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro con ejemplos visuales y explicaciones claras. Puedes ver está clase en vídeo directamente en nuestro Canal de YouTube.
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Introducción a las Líneas y Puntos Notables en un Triángulo
En la geometría de triángulos, ciertos segmentos y puntos tienen propiedades destacadas que juegan un papel crucial en la resolución de problemas y en la comprensión de la figura. Estos segmentos se conocen como líneas notables, y los puntos donde se intersectan se denominan puntos notables. Cada tipo de línea notable tiene su propio conjunto de propiedades y puntos de interés asociados. En esta clase, exploraremos estos conceptos fundamentales.
¿Qué son las líneas y puntos notables de un triángulo?
La Bisectriz
¿Qué es una Bisectriz?
Una bisectriz en un triángulo es un segmento de línea que divide un ángulo en dos partes iguales. Cada triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo.
Propiedades de la Bisectriz
- Cada bisectriz se encuentra dentro del triángulo.
- Las bisectrices se intersectan en un punto llamado incentro.
Una bisectriz en un triángulo es un segmento de línea que divide un ángulo en dos partes iguales. Cada triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo.
¿Cómo se construye una Bisectriz? Ejemplo
Supongamos que tenemos el siguiente triángulo, tres vértices… tres lados… tres ángulos.
Ahora simplemente vamos a partir cada ángulo en dos partes iguales con esos segmentos llamados bisectrices, observa:
¿Qué es el INCENTRO? ¿Cómo se forma?
Un incentro es aquel que se forma al cortarse las tres rectas bisectrices de un triángulo. El incentro es el centro de una CIRCUNFERENCIA INSCRITA en el triángulo.
El radio de la CIRCUNFERENCIA INSCRITA se traza desde el incentro hasta cualquiera de los tres lados, medido a lo largo de cualquiera de las tres bisectrices.
La Mediana
¿Qué es una Mediana de un triángulo?
Una mediana es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas.
Propiedades de la Mediana de un triángulo
- Las medianas se intersectan en un punto llamado baricentro o centroide.
- El punto de corte de las medianas SIEMPRE ocurre dentro del triángulo, a diferencia de otros puntos de corte notables como el circuncentro o el ortocentro que pueden ocurrir fuera del triángulo.
¿Cómo se traza la Mediana de un triángulo? Ejemplo
El primer paso es UBICAR LOS PUNTOS MEDIOS de cada lado del triángulo.
Ahora simplemente vamos a unir cada vértice con el punto medio que tiene justo en frente, observa:
¿Qué es el BARICENTRO o CENTROIDE? ¿Cómo se forma?
El baricentro es el punto donde se intersectan las tres medianas. Este punto divide cada mediana en dos segmentos, siendo uno el doble del otro.
Ahora veamos a detalle eso de que el baricentro corta cada mediana en dos segmentos donde uno es el doble del otro:
Primer Mediana
Segunda Mediana
Tercer Mediana
¿Para qué sirve el Baricentro de un triángulo?
El baricentro, o centroide, es el centro de gravedad del triángulo; para equilibrar un triángulo en un solo punto (como en la punta de un lápiz), debe apoyarse en el baricentro.
La Mediatriz
¿Qué es una Mediatriz?
La mediatriz es una línea perpendicular a un lado del triángulo que pasa por el punto medio de ese lado. Cada triángulo tiene tres mediatrices.
Propiedades de la Mediatriz
- Una mediatriz NO NECESARIAMENTE corta alguno de los vértices del triángulo.
- El punto de corte de las tres mediatrices de un triángulo puede ocurrir por fuera de este.
¿Cómo se construye una Mediatriz? Ejemplo
Lo primero que debemos hacer es ubicar el punto medio de cada lado del triángulo:
Ahora vamos a trazar una línea perpendicular (ángulo de 90 grados) desde cada uno de esos puntos, observa:
Fíjate que en este caso las líneas notables no se cortaron con ninguno de los vértices:
¿Qué es el CIRCUNCENTRO? ¿Cómo se forma?
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por todos los vértices del triángulo.
El radio de la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA se traza desde el circuncentro hasta cualquiera de los vértices del triángulo.
Recuerda que una circunferencia CIRCUNSCRITA es aquella que rodea al triángulo y toca todos sus vértices sin excepción:
DIFERENCIA ENTRE CIRCUNSCRITO E INSCRITO
Inscrito: La circunferencia está dentro del triángulo (circunferencia inscrita). Se traza desde el incentro.
Circunscrito: La circunferencia rodea el triángulo (circunferencia circunscrita). Se traza desde el circuncentro.
La Altura
¿Qué es la altura de un triángulo? ¿Cuántas tiene?
La altura de un triángulo es una línea perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Cada triángulo tiene tres alturas.
¿Cómo se TRAZA la altura de un triángulo? Ejemplo
Recuerda que todo triángulo tiene TRES potenciales BASES, y nunca sabes sobre cuál se va a acostar… por lo tanto debes siempre considerar las TRES ALTURAS, una por cada BASE.
Propiedades de las alturas de un triángulo
- El punto de corte de las tres alturas de un triángulo puede ocurrir por fuera de este. Esto se da en caso tal de triángulos obtusángulos (uno de sus ángulos mide más de 90 grados).
- El punto de corte de las tres alturas se denomina ORTOCENTRO
¿Qué es el ORTOCENTRO? ¿Cómo se forma?
El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. Este punto puede estar dentro o fuera del triángulo, dependiendo de su tipo (agudo, rectángulo u obtuso).
¿Para qué sirve el ortocentro de un triángulo?
Lo primero que podemos hacer es trazar un triángulo llamada TRIÁNGULO ÓRTICO uniendo los puntos de corte de cada altura con el lado que forma 90º.
Ese triángulo órtico es semejante al triángulo original dentro del cual se formó.
El ortocentro del triángulo original se convierte en el incentro del triángulo órtico. A partir de él podemos construir una circunferencia inscrita dentro del triángulo órtico.
La Recta de Euler
¿Qué es la Recta de Euler?
La recta de Euler es una línea que pasa por tres puntos notables: el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Estos tres puntos siempre están alineados en esta recta.
¿Cómo se construye la Recta de Euler? Paso a paso
Hay que ubicar tres puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro.
Paso 01: Arranquemos ubicando el ortocentro y lo dejamos marcado en color VERDE. Recuerda que el ortocentro consiste en cortar las tres alturas del triángulo.
Paso 02: Ubicamos el baricentro y lo dejamos marcado en color FUCSIA. Recuerda que el baricentro se forma al cortar las tres medianas del triángulo.
Paso 03: Ubicamos el circuncentro y lo dejamos marcado en color AZUL. Recuerda que el circuncentro se forma al cortar las tres mediatrices del triángulo.
Ya tenemos los tres puntos necesarios: baricentro, ortocentro y circuncentro.
Trazamos la recta de Euler:
Propiedades de la Recta de Euler
El baricentro siempre se encuentra entre el ortocentro y el circuncentro.
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el ortocentro y el baricentro.
¿Para qué sirven las líneas notables de un triángulo: mediatriz, mediana, bisectriz y altura?
En resumen, las líneas y puntos notables en un triángulo son fundamentales para entender su geometría. Desde la bisectriz y el incentro hasta la mediana y el baricentro, cada elemento tiene propiedades únicas y aplicaciones prácticas. La mediatriz y el circuncentro ofrecen perspectivas adicionales sobre el triángulo, mientras que la altura y el ortocentro aportan más complejidad. Finalmente, la recta de Euler conecta estos conceptos en una relación elegante.
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