Si lo tuyo es observar la clase en vídeo, te invitamos a ver Demostraciones de identidades trigonométricas en nuestro Canal de YouTube.
Paso a paso te explicaremos cómo se demuestran las identidades trigonométricas fundamentales más utilizadas.
Identidades Trigonométricas
Antes de iniciar debes tener claro cuáles son los lados de un triángulo rectángulo y cómo se identifica cuál cateto es el opuesto y cuál es el cateto adyacente:
De igual forma debemos tener conocimientos básicos de las razones trigonométricas:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Partiendo del hecho de que una razón trigonométrica recíproca es el inverso multiplicativo de una razón trigonométrica básica, podemos deducir los siguientes despejes, en donde cada producto se convierte en una igualdad con la unidad (1). Veamos:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL COCIENTE
Ahora veamos las famosas identidades trigonométricas del cociente.
Partamos del hecho de que el seno y el coseno están relacionados con la hipotenusa como aquella que divide a los catetos respectivos:
Si despejamos los catetos en cada igualdad, tendríamos que enviar la hipotenusa a multiplicar a la izquierda. Así:
Hasta este punto ya tenemos dos expresiones que representan a ambos catetos. Ahora bien… la tangente es igual a CO dividido entre CA… por lo tanto podríamos decir lo siguiente:
Si cancelamos la hipotenusa arriba y abajo tendríamos que la tangente es igual al seno dividido entre el coseno, y por consiguiente la cotangente sería igual al coseno dividido entre el seno al ser el inverso multiplicativo de la tangente.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS
Recordemos que el teorema de pitágoras nos indica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
Vamos a hacer algunas modificaciones a la ecuación del teorema de Pitágoras. Dividamos ambas partes de la ecuación entre la hipotenusa al cuadrado:
¿Cómo se demuestran las identidades pitagóricas?
Acá podemos pensar en cancelar el lado derecho de la ecuación y decir que esa división es igual a 1. Por otra parte podemos expresar las fracciones de la izquierda con una agrupación entre paréntesis. Algo así:
Ya sabemos que CO/H es seno y que CA/H es coseno… por lo tanto podemos indicar y demostrar de forma exitosa la identidad pitagórica principal:
¿Cuántas identidades pitagóricas hay?
Realmente existe sólo una identidad pitagórica, pero a partir de ella podemos obtener algunas variantes muy útiles.
Si despejo el seno² o si despejo al coseno² tendría otro par de variantes de la identidad pitagórica:
¿Identidades pitagóricas recíprocas?
Sigamos con las demostraciones de identidades trigonométricas.
Vamos a jugar con la identidad pitagórica principal. Vamos a dividir toda la ecuación entre seno al cuadrado de la siguiente forma:
Sabemos que 1/seno es cosecante… coseno/seno es cotangente… y que seno/seno se cancela… y ya que todo está al cuadrado… entonces tendríamos lo siguiente:
¿Y si en lugar de dividir entre seno lo hacemos con el coseno?… Tendríamos lo siguiente:
¿Hay más variaciones de las identidades pitagóricas?
Con algunos despejes podríamos obtener otro par más. Veamos:
Las identidades pitagóricas más usadas son:
IDENTIDADES DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Existen varias identidades trigonométricas de la suma de dos ángulos o incluso de la resta entre ellos. En esta ocasión vamos a abordar una identidad muy conocida:
EL SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS – DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA
Observa la demostración geométrica del seno de la suma de dos ángulos en nuestro vídeo de YouTube:
Resumen de las demostraciones de identidades trigonométricas:
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