coordenadas cilíndricas

Coordenadas Cilíndricas

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¿Qué son las coordenadas cilíndricas?

Básicamente un sistema de coordenadas es aquel que te indica el camino para llegar a un punto en el espacio. En este caso hablaremos de un camino llamado coordenadas cilíndricas que nos permitirán posicionar puntos en un espacio tridimensional.

Partamos de lo básico… hablemos un poquito de las coordenadas cartesianas

¿Qué son las coordenadas cartesianas?

Básicamente son ejes de coordenadas ortogonales entre sí que permiten dar referencias para posicionar un punto en el espacio. Recuerda que ortogonal significa perpendicular… es decir… que forma ángulos rectos… o dicho de otra forma, se arman «cruces perfectas» entre sí.

En 3D se trabajan tres ejes cartesianos que no son más que rectas que normalmente se denotan con las letras X, Y, y Z. Seguro los conoces como eje X, eje Y y eje Z

Ejes cartesianos en 3D
Ejes ortogonales

Una coordenada cartesiana tiene tres componentes numéricos, uno para cada eje

coordenada cartesiana

Vamos a ubicar el punto cartesiano P (3, 4, 2). Siempre el primer número es para el eje X, el segundo para el eje Y y el último para el eje Z

ejemplo de punto cartesiano

Ubiquemos el piso. El eje x y el eje Y por lo general nos dan una base o suelo. En este ejemplo X vale 3 y Y vale 4, por lo tanto el punto en el piso queda así:

ejemplo de coordenada cartesiana 3D

Démosle altura. Por lo general asociamos el eje Z como la altura o proyección vertical. En este ejemplo Z vale 2, por lo tanto vamos a subir 2 unidades desde el punto en el piso:

ejemplo de punto 3D en ejes cartesianos

Vamos a dibujar en líneas punteadas todas las proyecciones para que lo veas bien

un punto en el espacio 3D cartesiano

Las coordenadas cartesianas son una forma de mostrarte el camino hasta el punto P. Pero ahora hablemos del camino que nos muestran las coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas también tienen tres componentes

Una novedad respecto a las cartesianas, es que las coordenadas cilíndricas tienen un ángulo…

El valor de r es una distancia o un segmento que vamos a «abrir» cierto ángulo alpha (α) en el piso para luego subir una altura z.

Convertir coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas

Sigamos con nuestro ejemplo inicial, tenemos el punto cartesiano P(3, 4, 2)

ejemplo de punto cartesiano

Vamos a convertir esas componentes cartesianas X = 3, Y = 4 y Z = 2 a componentes r, α y z

coordenadas cartesianas y cilíndricas

Calculemos r.

Se utiliza la siguiente fórmula pitagórica (te darás cuenta que r es una hipotenusa donde X y Y son los catetos):

coordenadas cilíndricas fórmulas
calcular r

Si X = 3 y Y = 4… pues:

Listo, primer componente de la coordenada cilíndrica, r = 5.

Dibujemos ese r = 5… simplemente coloquemos un segmento que mida 5 acostado sobre el eje X, así:

Calculemos α.

El ángulo alpha (α) básicamente es cuánto nos abrimos en el piso. Se calcula con la siguiente expresión: arco-tangente de y/x

fórmula para calcular el ángulo alpha de coordenadas cilíndricas

Una arco-tangente no es más que una expresión que permite calcular el ángulo que existe en un triángulo rectángulo dados un cateto opuesto (Y) y un cateto adyacente (X). Si necesitas clases de trigonometría te aconsejamos empezar por acá.

Pero bueno, si X = 3 y Y = 4… pues:

calcular ángulo alpha coordenada cilíndrica

¿Y cómo calculamos la arco-tangente en la calculadora?

Fácil, en tu calculadora científica oprime la tecla SHIFT y luego la tecla TAN. Seguramente no te va a salir arctan pero si una tangente elevada a la -1… así:

arcotangente en la calculadora casio

Bueno ya tenemos el ángulo alpha… α = 53.13º… vamos a abrir en el piso 53.13º y desplazamos la r que ya teníamos, así:

coordenadas cilíndricas: calcular r y alpha

Calculemos Z.

Esta es la parte más fácil… Z es igual a.. Z. En coordenadas cartesianas y cilíndricas la Z tiene el mismo valor, por lo tanto, en nuestro ejemplo Z = 2.

Dibujemos Z. Básicamente sólo es darle altura al punto…y como Z = 2… entonces subamos dos unidades, así:

coordenadas cilíndricas ejercicios resueltos

Entonces para llegar a ese punto P tenemos dos caminos:

El camino cartesiano dice P(3, 4, 2) y el camino cilíndrico dice P(5, 53.13º, 2).

El camino cartesiano dice ubícate 3 en el eje X… 4 en el eje Y…. y luego sube 2 en el eje Z.

El camino cilíndrico te dice acuesta una distancia de 5 en el eje X... ábrela un ángulo de 53.13º… y por último sube 2 en el eje Z.

Veamos un resumen de este ejemplo:

coordenadas cilíndricas

Convertir coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas

Ahora veamos el proceso inverso con otro ejemplo.

Vamos a partir de la siguiente coordenada cilíndrica:

ejemplos de coordenadas cilíndricas

Recuerda la forma de leer el camino cilíndrico.

El camino cilíndrico nos está diciendo acuéstate una distancia de 10 en el eje X... ábrela un ángulo de 36.87º… y por último sube 4 en el eje Z.

Veamos… acuéstate una distancia de 10 en el eje X

ubicar coordenadas cilíndricas en el plano cartesiano 3D

Ahora ábrela un ángulo de 36.87º

ejemplos de convertir cilíndrica a cartesiana

Por último sube 4 en el eje Z.

ubicar una coordenada cilíndrica paso a paso

Listo! Ya tenemos ubicado el punto P siguiente el camino cilíndrico.

Veamos gráficamente las proyecciones a cada eje para determinar el punto en el camino cartesiano:

convertir coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas gráficamente

Gráficamente se observa que el punto P tiene componente en eje X de 8, de 6 en el eje Y y de 4 en el eje Z. Por lo tanto el punto cartesiano es P(8, 6, 4).

Fórmulas para convertir coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas

No siempre tenemos la gráfica para corroborar, por lo tanto también podemos usar las siguientes fórmulas o expresiones:

Para calcular el valor de X. Basta con multiplicar el valor de r por el coseno del ángulo alpha, como si calculáramos un cateto adyacente:

calcular x de una coordenada cilíndrica

Para calcular el valor de Y. Basta con multiplicar el valor de r por el seno del ángulo alpha, como si calculáramos un cateto opuesto:

calcular Y de una coordenada cilíndrica

Para calcular el valor de Z. Bueno… te lo dijimos arriba… Z es igual en ambos caminos, cartesiano y cilíndrico:

calcular Z de una coordenada cilíndrica

¿Lo ves? Dos caminos para llegar al mismo punto Pcamino cartesiano o camino cilíndrico:

¿Por qué se llaman coordenadas cilíndricas?

Bueno eso es algo bastante simple. Mira el valor de r como un radio… que se mueve un ángulo que puede ir de a 360º pudiendo formar un círculo en el piso o base… y si proyectas eso a una altura Z… tendrás un cilindro. Preparé una animación para que lo entiendas mejor (no olviden suscribirse a mi canal de YouTube de Las Mates Fáciles)

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