Si lo tuyo es ver las clases en vídeo… no te preocupes… te enseñamos lo que necesitas saber de las Coordenadas Esféricas en nuestro canal de YouTube aquí.
¿Qué son las coordenadas esféricas?
Básicamente un sistema de coordenadas es aquel que te indica el camino para llegar a un punto en el espacio. En este caso hablaremos de un camino llamado coordenadas esféricas que nos permitirán posicionar puntos en un espacio tridimensional.
Partamos de lo básico… hablemos un poquito de las coordenadas cartesianas
¿Qué son las coordenadas cartesianas?
Básicamente son ejes de coordenadas ortogonales entre sí que permiten dar referencias para posicionar un punto en el espacio. Recuerda que ortogonal significa perpendicular… es decir… que forma ángulos rectos… o dicho de otra forma, se arman “cruces perfectas” entre sí.
En 3D se trabajan tres ejes cartesianos que no son más que rectas que normalmente se denotan con las letras X, Y, y Z. Seguro los conoces como eje X, eje Y y eje Z
Una coordenada cartesiana tiene tres componentes numéricos, uno para cada eje
Vamos a ubicar el punto cartesiano P (1, 2, 2). Siempre el primer número es para el eje X, el segundo para el eje Y y el último para el eje Z
Ubiquemos el piso. El eje x y el eje Y por lo general nos dan una base o suelo. En este ejemplo X vale 1 y Y vale 2, por lo tanto el punto en el piso queda así:
Démosle altura. Por lo general asociamos el eje Z como la altura o proyección vertical. En este ejemplo Z vale 2, por lo tanto vamos a subir 2 unidades desde el punto en el piso:
Vamos a dibujar en líneas punteadas todas las proyecciones para que lo veas bien
Las coordenadas cartesianas son una forma de mostrarte el camino hasta el punto P. Pero ahora hablemos del camino que nos muestran las coordenadas esféricas.
Las coordenadas esféricas también tienen tres componentes
Una novedad respecto a las cartesianas, es que las coordenadas esféricas tienen una distancia y dos ángulos…
El valor de ρ es una distancia o un segmento que vamos a “abrir” cierto ángulo alpha (α) en el piso para luego “abrir” otro ángulo beta (β) hacia arriba respecto al eje z.
Convertir coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas
Sigamos con nuestro ejemplo inicial, tenemos el punto cartesiano P(1, 2, 2)
Vamos a convertir esas componentes cartesianas X = 1, Y = 2 y Z = 2 a componentes ρ, α y β
Calculemos ρ.
Se utiliza la siguiente fórmula:
Si X = 1, Y = 2 y Z = 2… pues:
Listo, primer componente de la coordenada esférica, ρ = 3.
Dibujemos ese ρ = 3… simplemente es la distancia que hay entre el origen y el punto P, así:
Calculemos α.
El ángulo alpha (α) básicamente es cuánto nos abrimos en el piso. Se calcula con la siguiente expresión: arco-tangente de y/x
Una arco-tangente no es más que una expresión que permite calcular el ángulo que existe en un triángulo rectángulo dados un cateto opuesto (Y) y un cateto adyacente (X). Si necesitas clases de trigonometría te aconsejamos empezar por acá.
Pero bueno, si X = 1 y Y = 2… pues:
¿Y cómo calculamos la arco-tangente en la calculadora?
Fácil, en tu calculadora científica oprime la tecla SHIFT y luego la tecla TAN. Seguramente no te va a salir arctan pero si una tangente elevada a la -1… así:
Bueno ya tenemos el ángulo alpha… α = 63.4º… vamos a proyectar en el piso una apertura de 63.4º hasta el punto P, así:
Calculemos β.
El ángulo beta (β) es esa apertura hacia arriba que tendrá nuestro punto P respecto al eje Z. Se calcula con la siguiente expresión:
Si X = 1, Y = 2 y Z = 2… pues:
Dibujemos β.
Entonces para llegar a ese punto P tenemos dos caminos:
El camino cartesiano dice P(1, 2, 2) y el camino esférico dice P(3, 63.4º, 48.2º).
El camino cartesiano dice ubícate 1 en el eje X… 2 en el eje Y…. y luego sube 2 en el eje Z.
El camino esférico te dice acuesta una distancia de 3 en el eje X... ábrela un ángulo de 63.4º en el piso… y por último abre hacia arriba 48.2º respecto al eje Z.
Veamos una animación de este ejemplo:
Convertir coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas
Ahora veamos el proceso inverso con otro ejemplo.
Vamos a partir de la siguiente coordenada esférica:
Recuerda la forma de leer el camino esférico.
El camino esférico nos está diciendo acuéstate una distancia de 5.4 en el eje X... ábrela un ángulo de 33.7º en el piso… y por último sube hasta formar un ángulo de 42º con el eje Z.
Veamos esto animado: (para ver todo explicado en vídeo da clic aquí)
Listo! Ya tenemos ubicado el punto P siguiente el camino esférico.
Veamos gráficamente las proyecciones a cada eje para determinar el punto en el camino cartesiano:
Gráficamente se observa que el punto P tiene componente en eje X de 3, de 2 en el eje Y y de 4 en el eje Z. Por lo tanto el punto cartesiano es P(3, 2, 4).
Fórmulas para convertir coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas
No siempre tenemos la gráfica para corroborar, por lo tanto también podemos usar las siguientes fórmulas o expresiones:
Para calcular el valor de X. Basta con multiplicar el valor de ρ por el seno del ángulo beta (β) y por el coseno del ángulo alpha (α):
Para calcular el valor de Y. Basta con multiplicar el valor de ρ por el seno del ángulo alpha (α) y por el seno del ángulo beta (β):
Para calcular el valor de Z. Basta con multiplicar el valor de ρ por el coseno del ángulo beta (β):
¿Lo ves? Dos caminos para llegar al mismo punto P… camino cartesiano o camino esférico:
¿Por qué se llaman coordenadas esféricas?
Bueno eso es algo bastante simple. Mira el valor de ρ como un radio… que se mueve un ángulo que puede ir de 0º a 360º pudiendo formar un círculo en el piso o base… y si proyectas a todas las posibles aperturas verticales de 0º a 360º… tendrás una esfera. Preparé una animación para que lo entiendas mejor (no olvides suscribirte a mi canal de YouTube de Las Mates Fáciles)
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