Coordenadas esféricas

Coordenadas Esféricas

Si lo tuyo es ver las clases en vídeo… no te preocupes… te enseñamos lo que necesitas saber de las Coordenadas Esféricas en nuestro canal de YouTube aquí.

¿Qué son las coordenadas esféricas?

Básicamente un sistema de coordenadas es aquel que te indica el camino para llegar a un punto en el espacio. En este caso hablaremos de un camino llamado coordenadas esféricas que nos permitirán posicionar puntos en un espacio tridimensional.

Partamos de lo básico… hablemos un poquito de las coordenadas cartesianas

¿Qué son las coordenadas cartesianas?

Básicamente son ejes de coordenadas ortogonales entre sí que permiten dar referencias para posicionar un punto en el espacio. Recuerda que ortogonal significa perpendicular… es decir… que forma ángulos rectos… o dicho de otra forma, se arman «cruces perfectas» entre sí.

En 3D se trabajan tres ejes cartesianos que no son más que rectas que normalmente se denotan con las letras X, Y, y Z. Seguro los conoces como eje X, eje Y y eje Z

Ejes cartesianos en 3D
Ejes ortogonales

Una coordenada cartesiana tiene tres componentes numéricos, uno para cada eje

coordenada cartesiana

Vamos a ubicar el punto cartesiano P (1, 2, 2). Siempre el primer número es para el eje X, el segundo para el eje Y y el último para el eje Z

punto cartesiano 3D

Ubiquemos el piso. El eje x y el eje Y por lo general nos dan una base o suelo. En este ejemplo X vale 1 y Y vale 2, por lo tanto el punto en el piso queda así:

ubicación en plano cartesiano 3D

Démosle altura. Por lo general asociamos el eje Z como la altura o proyección vertical. En este ejemplo Z vale 2, por lo tanto vamos a subir 2 unidades desde el punto en el piso:

un punto en el espacio ejemplo de coordenadas esféricas

Vamos a dibujar en líneas punteadas todas las proyecciones para que lo veas bien

ejemplo de coordenada cartesiana en el espacio

Las coordenadas cartesianas son una forma de mostrarte el camino hasta el punto P. Pero ahora hablemos del camino que nos muestran las coordenadas esféricas.

Las coordenadas esféricas también tienen tres componentes

coordenadas esféricas

Una novedad respecto a las cartesianas, es que las coordenadas esféricas tienen una distancia y dos ángulos…

El valor de ρ es una distancia o un segmento que vamos a «abrir» cierto ángulo alpha (α) en el piso para luego «abrir» otro ángulo beta (β) hacia arriba respecto al eje z.

Convertir coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas

Sigamos con nuestro ejemplo inicial, tenemos el punto cartesiano P(1, 2, 2)

punto cartesiano 3D

Vamos a convertir esas componentes cartesianas X = 1, Y = 2 y Z = 2 a componentes ρ, α y β

coordenadas cartesianas a esféricas

Calculemos ρ.

Se utiliza la siguiente fórmula:

coordenadas esféricas fórmula para rho

Si X = 1, Y = 2 y Z = 2… pues:

calcular rho
coordenadas esféricas fórmulas

Listo, primer componente de la coordenada esférica, ρ = 3.

Dibujemos ese ρ = 3… simplemente es la distancia que hay entre el origen y el punto P, así:

convertir coordenadas cartesianas a esféricas

Calculemos α.

El ángulo alpha (α) básicamente es cuánto nos abrimos en el piso. Se calcula con la siguiente expresión: arco-tangente de y/x

fórmula para calcular el ángulo alpha de coordenadas cilíndricas

Una arco-tangente no es más que una expresión que permite calcular el ángulo que existe en un triángulo rectángulo dados un cateto opuesto (Y) y un cateto adyacente (X). Si necesitas clases de trigonometría te aconsejamos empezar por acá.

Pero bueno, si X = 1 y Y = 2… pues:

cálculo del ángulo alpha coordenada esférica

¿Y cómo calculamos la arco-tangente en la calculadora?

Fácil, en tu calculadora científica oprime la tecla SHIFT y luego la tecla TAN. Seguramente no te va a salir arctan pero si una tangente elevada a la -1… así:

cómo calcular una arcotangente en la calculadora casio

Bueno ya tenemos el ángulo alphaα = 63.4º… vamos a proyectar en el piso una apertura de 63.4º hasta el punto P, así:

cómo convertir cartesianas a esféricas

Calculemos β.

El ángulo beta (β) es esa apertura hacia arriba que tendrá nuestro punto P respecto al eje Z. Se calcula con la siguiente expresión:

fórmulas coordenadas esféricas

Si X = 1, Y = 2 y Z = 2… pues:

convertir coordenadas cartesianas a esféricas

Dibujemos β.

coordenadas cilíndricas y esféricas

Entonces para llegar a ese punto P tenemos dos caminos:

El camino cartesiano dice P(1, 2, 2) y el camino esférico dice P(3, 63.4º, 48.2º).

El camino cartesiano dice ubícate 1 en el eje X… 2 en el eje Y…. y luego sube 2 en el eje Z.

El camino esférico te dice acuesta una distancia de 3 en el eje X... ábrela un ángulo de 63.4º en el piso… y por último abre hacia arriba 48.2º respecto al eje Z.

Veamos una animación de este ejemplo:

Convertir coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas

Ahora veamos el proceso inverso con otro ejemplo.

Vamos a partir de la siguiente coordenada esférica:

coordenada esférica a cartesiana ejemplo resuelto

Recuerda la forma de leer el camino esférico.

El camino esférico nos está diciendo acuéstate una distancia de 5.4 en el eje X... ábrela un ángulo de 33.7º en el piso… y por último sube hasta formar un ángulo de 42º con el eje Z.

Veamos esto animado: (para ver todo explicado en vídeo da clic aquí)

Listo! Ya tenemos ubicado el punto P siguiente el camino esférico.

Veamos gráficamente las proyecciones a cada eje para determinar el punto en el camino cartesiano:

coordenada cartesiana a esférica

Gráficamente se observa que el punto P tiene componente en eje X de 3, de 2 en el eje Y y de 4 en el eje Z. Por lo tanto el punto cartesiano es P(3, 2, 4).

Fórmulas para convertir coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas

No siempre tenemos la gráfica para corroborar, por lo tanto también podemos usar las siguientes fórmulas o expresiones:

Para calcular el valor de X. Basta con multiplicar el valor de ρ por el seno del ángulo beta (β) y por el coseno del ángulo alpha (α):

calcular x coordenada esférica

Para calcular el valor de Y. Basta con multiplicar el valor de ρ por el seno del ángulo alpha (α) y por el seno del ángulo beta (β):

calcular Y coordenada esférica

Para calcular el valor de Z. Basta con multiplicar el valor de ρ por el coseno del ángulo beta (β):

calcular z coordenadas esféricas

¿Lo ves? Dos caminos para llegar al mismo punto Pcamino cartesiano o camino esférico:

convertir coordenadas esféricas a cartesianas

¿Por qué se llaman coordenadas esféricas?

Bueno eso es algo bastante simple. Mira el valor de ρ como un radio… que se mueve un ángulo que puede ir de a 360º pudiendo formar un círculo en el piso o base… y si proyectas a todas las posibles aperturas verticales de a 360º… tendrás una esfera. Preparé una animación para que lo entiendas mejor (no olvides suscribirte a mi canal de YouTube de Las Mates Fáciles)

¿Sabías que tenemos varias app que pueden ayudarte con tus tareas?

Descubre una gran colección de herramientas para echarte una mano con los deberes de Matemáticas, Física, Trigonometría y Geometría!

Si lo tuyo es ir directo al grano… aquí tenemos el enlace de descarga!!

ayudante de tareas

Nuestra App es gratuita y la puedes buscar en la tienda de aplicaciones de Google Play en tu teléfono Android con el nombre de Ayudante de Tareas (lo sentimos pero todavía no estamos disponibles para dispositivos iOS… pronto!)

ayudante de tareas
ayudante de tareas
ayudante de tareas
ayudante de tareas

¿Problemas con estadística?

Descargar GRATIS nuestra CALCULADORA DE ESTADÍSTICA

calculadora de estadística

Deja un comentario