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Primero lo primero, ¿qué es eso de Probabilidad Condicional?
Ocurre cuando dos eventos o sucesos son dependientes entre sí, y la ocurrencia de uno condiciona la ocurrencia del otro.
Antes de meternos en cálculos y fórmulas, veamos las expresiones o símbolos que implica todo este asunto de la probabilidad condicional:
Ahora si viene lo bueno… la probabilidad condicional implica que ALGO YA OCURRIÓ, y ese ALGO es el que me condiciona que OTRO ALGO también pueda ocurrir. Veamos las expresiones y luego seguimos hablando de ese ALGO.
Analicemos esto con un ejemplo bastante simple: un frasco con 20 bolas entre rojas y negras, cada una con un número diferente.
Listo nuestro objeto de estudio, ahora… a inventar sucesos!
Por color: supongamos el suceso de que al sacar una bola, esta me salga roja. Lógicamente la negación de ese suceso es que salga negra, ¿verdad?. Llamemos esto el suceso A y su negación:
Por número: supongamos el suceso de que al sacar una bola, esta me salga par. Lógicamente la negación de ese suceso es que salga impar, ¿verdad?. Llamemos esto el suceso B y su negación:
Calculemos la probabilidad de cada suceso por separado contando la cantidad de balotas favorables para cada caso. Si tienes dudas con cómo hacerlo, te aconsejamos darle un vistazo a esta clase.
Veamos:
Tabla doble entrada o de Contingencia
Es bastante sencillo de entender cómo construir esta tabla. Se llama doble entrada porque vamos a tener ambos sucesos en las filas y columnas. Veamos la tabla de nuestro frasco con balotas:
¿Si entiendes la tabla? Vamos a analizarla un poco.
Columna del suceso A, que sean rojas. Al final de la columna (abajo) podemos ver que en total hay 8 balotas rojas, de las cuales 6 tienen números pares y 2 tienen números impares.
Columna del suceso A negado, que sean negras. Al final de la columna (abajo) podemos ver que en total hay 12 balotas negras, de las cuales 7 tienen números pares y 5 tienen números impares.
Fila del suceso B, que sean pares. Al final de la fila (derecha) podemos ver que en total hay 13 balotas con números pares, de las cuales 6 son rojas y 7 son negras.
Fila del suceso B negado, que sean impares. Al final de la fila (derecha) podemos ver que en total hay 7 balotas con números impares, de las cuales 2 son rojas y 5 son negras.
Total, todos juntos. Al final de la tabla (esquina inferior derecha) podemos ver que en total hay 20 balotas en el frasco, concuerda si sumamos pares e impares (13+7) o si sumamos rojas y negras (8+12).
¿Ahora sí quedó clara la tabla? ¿Listos para una introducción a la probabilidad condicional?
Probabilidad de que A ocurra habiendo ocurrido B.
Es bastante simple, se supone que ALGO YA OCURRIÓ, en este caso el suceso B. Esto significa que alguien metió la mano en el frasco y sacó una de las 13 bolas que hay con un número par.
Ahora debemos averiguar la probabilidad de que de esas 13 bolas pares nos haya salido una bola roja, es decir que cumpla el suceso A.
Sabemos que hay 6 bolas rojas entre las 13 bolas con número par, por lo tanto:
Probabilidad de que B ocurra habiendo ocurrido A.
De nuevo, hay ALGO QUE YA OCURRIÓ, en este caso el suceso A. Esto significa que alguien metió la mano en el frasco y sacó una de las 8 bolas rojas.
Ahora debemos averiguar la probabilidad de que de esas 8 bolas rojas nos haya salido una bola con número par, es decir que cumpla el suceso B.
Sabemos que hay 6 bolas pares entre las 8 bolas rojas, por lo tanto:
¿Eso es todo? Sí, eso es todo si sabemos analizar la situación y plantear una solución.
¿No hay fórmula para eso? Sí, veamos cómo sería:
No se compliquen en memorizar fórmulas, no es la idea. Analicemos la probabilidad condicionada y cómo deducir las “fórmulas”:
El objetivo de la probabilidad condicionada es saber que tan probable es que ocurra ALGO QUE NO HA OCURRIDO, tomando como punto de partida el hecho de que YA SABEMOS que hay OTRO ALGO QUE YA OCURRIÓ.
Esta es la forma básica de construir la probabilidad de que algo ocurra:
Veamos, ABAJO va el # total de todo lo posible, eso quiere decir que ahora TODO LO POSIBLE ya se resume en los casos de lo que YA OCURRIÓ. Eso quiere decir que abajo va nuestro NUEVO TOTAL DE RESULTADOS POSIBLES.
ARRIBA va el # de casos favorables de que ocurra lo que queremos que ocurra… osea que arriban va a ir la cantidad de casos en COMÚN (osea intersección) entre lo que NO HA OCURRIDO y lo que YA OCURRIÓ.
Recalculemos lo que habíamos hecho antes de pensar en fórmulas, pero ahora utilizándolas.
Probabilidad de que A ocurra habiendo ocurrido B.
Las probabilidades que necesitamos saber:
Usemos la fórmula:
¿Recuerdas que este dato ya lo habíamos calculado simplemente analizando la tabla de contingencia?
Ya entrados en gastos calculemos esto también con fórmula:
Probabilidad de que B ocurra habiendo ocurrido A.
Usemos la fórmula:
Consejo: Recuerda que jamás debes usar las fórmulas como recetas de cocina. Analiza lo que te pide cada problema y trata de construir una solución utilizando tu sentido común y simple lógica.