propiedades de la logaritmacion

Propiedades de los Logaritmos

Si lo tuyo es aprender matemáticas con clases en vídeo, te invitamos a darle un vistazo a la clase de Propiedades de los Logaritmos en nuestro Canal de YouTube.

¿Qué es la Logaritmación?

Antes de explicarte las propiedades de la logaritmación, sería bueno que entiendas todo sobre esta operación. Dale un vistazo a nuestra clase de ¿Qué es la Logaritmación? – Partes de la Logaritmación – Ejemplos

Pero veamos un pequeño resumen. Analiza esta imagen:

qué es la logaritmación

Resolver un logaritmo consiste en encontrar el exponente que permita completar esa terna de la potenciación: base, exponente y potencia.

Ahora sí, a lo que vinimos.

Propiedades de los Logaritmos comprobadas con ejemplos

En esta clase encontrarás lo siguiente:

Logaritmo de la unidad

Propiedades de la Logaritmación - Logaritmo de la unidad

El logaritmo en base b de 1 siempre será igual a cero. Básicamente estamos expresando la propiedad de la potenciación que indica que todo número elevado a la cero da igual a 1

logaritmo de la unidad

Debes entender que un logaritmo sólo busca un exponente al cual elevar la base para obtener como resultado la potencia. Veamos unos ejemplos más

logaritmo de la unidad - ejemplos
propiedades de la logaritmación

¿Por qué la base debe ser diferente de 1?

El número uno o la unidad no sirve como base por una sencilla razón… 1 elevado a la… lo que sea… siempre da UNO!

base del logaritmo diferente de 1

Logaritmo de la base

logaritmo de la base

El logaritmo en base b de la misma b… siempre será igual a 1.

Es obvio debido a que toda base elevada a la 1 siempre dará como resultado la misma base.

logaritmo de la base
propiedades de la logaritmación

Veamos algunos ejemplos:

logaritmo del a base ejemplos

Logaritmo de una potencia con igual base

logaritmo de una potencia de igual base

El logaritmo en base b de la misma b elevada a un exponente n… su resultado siempre será la misma n. Es algo obvio y vamos a ver por qué

logaritmo de una potencia con igual base ejemplos

Resolver este logaritmo es preguntarnos lo siguiente:

¿A cuánto debo elevar mi base b… para obtener como resultado bn?

Obviamente para que b se convierta en bn, el exponente que busco es la misma n.

Veamos algunos ejemplos:

Propiedades de la Logaritmación - Comprobadas con ejemplos
logaritmo de una potencia con igual base

Démosle un extra a esta propiedad del logaritmo de una potencia con igual base… analicemos el siguiente ejercicio

logaritmo en base 2 de 64 paso a paso

Logaritmo en base 2 de 64.

Ese 64 lo podemos expresar como una potencia de 2. Veamos:

descomponer el 64

Al descomponer 64 en la base 2 nos damos cuenta que 2 elevado a 6 nos da como resultado 64. Esto significa que podemos reescribir nuestro ejercicio de la siguiente forma:

logaritmo de una potencia de igual base ejemplos y comprobaciones

Logaritmo en base 2 de 64 es igual a logaritmo en base 2 de 26

Ya podemos darle un buen uso a la propiedad del logaritmo de una potencia con igual base:

logaritmo de una potencia con igual base

Logaritmo de un producto

logaritmo de un producto

El logaritmo en base b de un producto a por c, es igual a la suma del logaritmo en base b de a más el logaritmo en base b de c.

Vamos directo con un ejemplo para que lo entiendas mejor

logaritmo de un producto ejemplos resueltos

Logaritmo en base 2 de 8 por 16

Hay dos formas de resolver este ejercicio. La primera es resolver esa multiplicación… 8 por 16 da 128.. por lo tanto:

logaritmo en base 2 de 128

Resolvamos el logaritmo en base 2 de 128. Descomponemos 128 y lo expresamos como una potencia de 227=128 y por lo tanto el exponente que buscamos con este logaritmo es 7. Veamos:

logaritmo en base 2 de 128 resuelto paso a paso

Ya quedó resuelto… ¿fácil cierto?

logaritmo de un producto

Ahora volvamos a la propiedad del logaritmo de un producto

propiedades de la logaritmación demostraciones

Vamos a calcular el logaritmo en base 2 de 8 y a su resultado le sumamos el logaritmo en base 2 de 16

Resolvamos el logaritmo en base 2 de 8, así:

logaritmo en base 2 de 8

Resolvamos el logaritmo en base 2 de 16, así:

logaritmo en base 2 de 16

Y bueno… llegamos al mismo resultado

logaritmo de un producto demostración

Veamos rápidamente otro ejemplo del logaritmo de un producto:

logaritmo de un producto ejercicio

Logaritmo en base 3 de 9 por 81

Si resolvemos esa multiplicación de 9 por 81… obtenemos 729

ejercicios resueltos de logaritmación

Ahora resolvamos el logaritmo en base 3 de 729

logaritmo de un producto ejercicios resueltos paso a paso

Ya sabemos que debe dar 6… ahora apliquemos la propiedad del logaritmo del producto

logaritmo de un producto ejemplos

Calculemos el logaritmo en base 3 de 9 y el logaritmo en base 3 de 81:

ejercicios de logaritmación

Ahora apliquemos la propiedad:

logaritmo de un producto ejercicios resueltos
propiedades de la logaritmación comprobadas con ejemplos

Logaritmo de un cociente

logaritmo de un cociente

Logaritmo en base b del cociente entre a y c es igual al logaritmo en base b de a menos el logaritmo en base b de c.

Vamos directo a un ejemplo:

logaritmo de un cociente

Si dividimos 1024 entre 64 eso nos da 16, por lo tanto…

ejercicios resueltos de logaritmación

Resolvamos el logaritmo en base 4 de 16

logaritmo de un cociente ejercicios resueltos

Bueno ya sabemos que el resultado es 2… pero apliquemos la propiedad para ver si también nos da 2

logaritmo de un cociente ejemplos

Calculemos el logaritmo en base 4 de 1024 y el logaritmo en base 4 de 64 para proceder a restarlos

logaritmo en base 4 de 1024
logaritmo en base 4 de 64

Uno dio cinco… el otro dio tres… y si los restamos…

logaritmo de un cociente ejercicios resueltos

Analicemos otro ejemplo del logaritmo de un cociente

logaritmo de un cociente ejemplo

Antes de aplicar la propiedad, vamos a resolver 729 dividido entre 9 y calculamos el logaritmo en base 3 de 81

comprobación de logaritmo de un cociente

Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente

logaritmo de un cociente ejercicios resueltos

Procedamos a resolver el logaritmo en base 3 de 729 y le restamos el logaritmo en base 3 de 9

logaritmos resueltos paso a paso
cómo se resuelve un logaritmo

Ahora vamos a restar como lo indica la propiedad del logaritmo del cociente

logaritmo de un cociente demostración

Logaritmo de una potencia

logaritmo de una potencia

El logaritmo en base b de c elevado a la n es igual a n multiplicando al logaritmo en base b de c.

Dicho de otro modo, sacamos el exponente a multiplicar. Veamos un ejemplo:

logaritmo de una potencia ejemplos

El logaritmo en base 2 de 83 se puede resolver de dos formas. Una de ellas es aplicando la propiedad como lo vemos en la imagen anterior donde el 3 sale a multiplicar al logaritmo en base 2 de 8

La otra forma es resolver ese 83 = 512 para calcular el logaritmo en base 2 de 512. Nos debería dar el mismo resultado.

ejercicios de logaritmación aplicando propeidades

Resolvamos el logaritmo en base 2 de 512

logaritmo en base 2 de 512

Ya sabemos que el resultado es 9. Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia

propiedades de la logaritmación comprobadas con ejemplos

Analicemos otro ejemplo

propiedades del logaritmo de una potencia

Antes de resolver con la propiedad del logaritmo de una potencia, vamos a operar ese 81² y calcularemos el logaritmo en base 3 de 6561

logaritmo de una potencia ejercicios resueltos

Ya sabemos que el resultado debe ser 8. Ahora vamos a aplicar la propiedad y comprobaremos ese resultado

propiedades de la logaritmación

Logaritmo de una raíz

logaritmo de una raíz

El logaritmo en base b de una raíz n de c elevado a la m es igual a m/n que multiplica al logaritmo en base b de c.

Veamos un ejercicio

logaritmo de una raíz ejercicios

Vamos a resolver este ejercicio sin aplicar la propiedad y aplicándola

Sin aplicar la propiedad, simplemente vamos a resolver ese 84=4096 y luego le sacamos la raíz cúbica a 4096 para quedar simplemente en el logaritmo en base 2 de 16

propiedades de los logaritmos

Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de una raíz

logaritmo de una raíz

Resolvamos el logaritmo en base 2 de 8 para poder multiplicarlo por el 4/3

logaritmo ejercicio resuelto paso a paso
logaritmo de una radicación

Resolvamos otro ejercicio para validar la propiedad del logaritmo de una raíz:

cómo se resuelve el logaritmo de una raíz

Lo primero que haremos será resolver el 16³ = 4096. Luego le sacamos la raíz cuadrada a 4096 y obtenemos 64. Por último calculamos el logaritmo en base 4 de 64. Así:

Propiedades de la Logaritmación - Comprobadas con ejemplos

Ya vimos que el resultado es 3. Ahora vamos a aplicar la propiedad del logaritmo de una raíz.

propiedades de la logaritmación ejercicios

Lo que haremos será calcular el logaritmo en base 4 de 16 y multiplicarlo por el 3/2. Así:

propiedades de los logaritmos: logaritmo de una raíz

Cambio de base

cambio de base logaritmo

El logaritmo en base b de a se puede expresar como el cociente entre el logaritmo en base p de a y el logaritmo en base p de b. El valor de p es de libre escogencia siempre y cuando sea un valor positivo diferente de 1.

Veamos un ejercicio de cambio de base

logaritmo por cambio de base ejercicios resueltos

El logaritmo en base 8 de 64 lo podemos resolver aplicando un cambio de base. Elegiremos la base 2 como lo ves en la imagen anterior.

¿Cuánto debe dar? Veamos, resolvamos primero el logaritmo en base 8 de 64

ejercicios resueltos de logaritmos

Ya sabemos que el resultado debe dar 2. Ahora hagámoslo por la propiedad de cambio de base

logaritmo por cambio de base ejercicios resueltos

Calculemos el logaritmo en base 2 de 64 y lo dividimos entre el logaritmo en base 2 de 8. Así:

logaritmos por cambio de base ejemplos

En el ejemplo anterior hicimos cambio de base por un valor de 2. Pero puede ser cualquier base.

Mira, resuelve en tu calculadora con cualquier valor de base y hubieras obtenido el mismo resultado:

cambio de base logaritmación

¿Te gustó la clase de propiedades de los logaritmos?

Deberías darle un vistazo a la clase de propiedades de la potenciación.

¿Sabías que tenemos varias app que pueden ayudarte con tus tareas?

Descubre una gran colección de herramientas para echarte una mano con los deberes de Matemáticas, Física, Trigonometría y Geometría!

Si lo tuyo es ir directo al grano… aquí tenemos el enlace de descarga!!

ayudante de tareas

Nuestra App es gratuita y la puedes buscar en la tienda de aplicaciones de Google Play en tu teléfono Android con el nombre de Ayudante de Tareas (lo sentimos pero todavía no estamos disponibles para dispositivos iOS… pronto!)

ayudante de tareas
ayudante de tareas
ayudante de tareas
ayudante de tareas

¿Problemas con estadística?

Descargar GRATIS nuestra CALCULADORA DE ESTADÍSTICA

calculadora de estadística

Deja un comentario