Si lo tuyo es aprender matemáticas con clases en vídeo, te invitamos a darle un vistazo a la clase de Propiedades de los Logaritmos en nuestro Canal de YouTube.
¿Qué es la Logaritmación?
Antes de explicarte las propiedades de la logaritmación, sería bueno que entiendas todo sobre esta operación. Dale un vistazo a nuestra clase de ¿Qué es la Logaritmación? – Partes de la Logaritmación – Ejemplos
Pero veamos un pequeño resumen. Analiza esta imagen:
Resolver un logaritmo consiste en encontrar el exponente que permita completar esa terna de la potenciación: base, exponente y potencia.
Ahora sí, a lo que vinimos.
Propiedades de los Logaritmos comprobadas con ejemplos
- Logaritmo de la unidad
- Logaritmo de la base
- Logaritmo de una potencia con igual base
- Logaritmo de un producto
- Logaritmo de un cociente
- Logaritmo de una potencia
- Logaritmo de una raíz
- Cambio de base
En esta clase encontrarás lo siguiente:
Logaritmo de la unidad
El logaritmo en base b de 1 siempre será igual a cero. Básicamente estamos expresando la propiedad de la potenciación que indica que todo número elevado a la cero da igual a 1
Debes entender que un logaritmo sólo busca un exponente al cual elevar la base para obtener como resultado la potencia. Veamos unos ejemplos más
¿Por qué la base debe ser diferente de 1?
El número uno o la unidad no sirve como base por una sencilla razón… 1 elevado a la… lo que sea… siempre da UNO!
Logaritmo de la base
El logaritmo en base b de la misma b… siempre será igual a 1.
Es obvio debido a que toda base elevada a la 1 siempre dará como resultado la misma base.
Veamos algunos ejemplos:
Logaritmo de una potencia con igual base
El logaritmo en base b de la misma b elevada a un exponente n… su resultado siempre será la misma n. Es algo obvio y vamos a ver por qué
Resolver este logaritmo es preguntarnos lo siguiente:
¿A cuánto debo elevar mi base b… para obtener como resultado bn?
Obviamente para que b se convierta en bn, el exponente que busco es la misma n.
Veamos algunos ejemplos:
Démosle un extra a esta propiedad del logaritmo de una potencia con igual base… analicemos el siguiente ejercicio
Logaritmo en base 2 de 64.
Ese 64 lo podemos expresar como una potencia de 2. Veamos:
Al descomponer 64 en la base 2 nos damos cuenta que 2 elevado a 6 nos da como resultado 64. Esto significa que podemos reescribir nuestro ejercicio de la siguiente forma:
Logaritmo en base 2 de 64 es igual a logaritmo en base 2 de 26
Ya podemos darle un buen uso a la propiedad del logaritmo de una potencia con igual base:
Logaritmo de un producto
El logaritmo en base b de un producto a por c, es igual a la suma del logaritmo en base b de a más el logaritmo en base b de c.
Vamos directo con un ejemplo para que lo entiendas mejor
Logaritmo en base 2 de 8 por 16
Hay dos formas de resolver este ejercicio. La primera es resolver esa multiplicación… 8 por 16 da 128.. por lo tanto:
Resolvamos el logaritmo en base 2 de 128. Descomponemos 128 y lo expresamos como una potencia de 2… 27=128 y por lo tanto el exponente que buscamos con este logaritmo es 7. Veamos:
Ya quedó resuelto… ¿fácil cierto?
Ahora volvamos a la propiedad del logaritmo de un producto
Vamos a calcular el logaritmo en base 2 de 8 y a su resultado le sumamos el logaritmo en base 2 de 16
Resolvamos el logaritmo en base 2 de 8, así:
Resolvamos el logaritmo en base 2 de 16, así:
Y bueno… llegamos al mismo resultado
Veamos rápidamente otro ejemplo del logaritmo de un producto:
Logaritmo en base 3 de 9 por 81
Si resolvemos esa multiplicación de 9 por 81… obtenemos 729
Ahora resolvamos el logaritmo en base 3 de 729
Ya sabemos que debe dar 6… ahora apliquemos la propiedad del logaritmo del producto
Calculemos el logaritmo en base 3 de 9 y el logaritmo en base 3 de 81:
Ahora apliquemos la propiedad:
Logaritmo de un cociente
Logaritmo en base b del cociente entre a y c es igual al logaritmo en base b de a menos el logaritmo en base b de c.
Vamos directo a un ejemplo:
Si dividimos 1024 entre 64 eso nos da 16, por lo tanto…
Resolvamos el logaritmo en base 4 de 16
Bueno ya sabemos que el resultado es 2… pero apliquemos la propiedad para ver si también nos da 2
Calculemos el logaritmo en base 4 de 1024 y el logaritmo en base 4 de 64 para proceder a restarlos
Uno dio cinco… el otro dio tres… y si los restamos…
Analicemos otro ejemplo del logaritmo de un cociente
Antes de aplicar la propiedad, vamos a resolver 729 dividido entre 9 y calculamos el logaritmo en base 3 de 81
Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente
Procedamos a resolver el logaritmo en base 3 de 729 y le restamos el logaritmo en base 3 de 9
Ahora vamos a restar como lo indica la propiedad del logaritmo del cociente
Logaritmo de una potencia
El logaritmo en base b de c elevado a la n es igual a n multiplicando al logaritmo en base b de c.
Dicho de otro modo, sacamos el exponente a multiplicar. Veamos un ejemplo:
El logaritmo en base 2 de 83 se puede resolver de dos formas. Una de ellas es aplicando la propiedad como lo vemos en la imagen anterior donde el 3 sale a multiplicar al logaritmo en base 2 de 8
La otra forma es resolver ese 83 = 512 para calcular el logaritmo en base 2 de 512. Nos debería dar el mismo resultado.
Resolvamos el logaritmo en base 2 de 512
Ya sabemos que el resultado es 9. Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia
Analicemos otro ejemplo
Antes de resolver con la propiedad del logaritmo de una potencia, vamos a operar ese 81² y calcularemos el logaritmo en base 3 de 6561
Ya sabemos que el resultado debe ser 8. Ahora vamos a aplicar la propiedad y comprobaremos ese resultado
Logaritmo de una raíz
El logaritmo en base b de una raíz n de c elevado a la m es igual a m/n que multiplica al logaritmo en base b de c.
Veamos un ejercicio
Vamos a resolver este ejercicio sin aplicar la propiedad y aplicándola
Sin aplicar la propiedad, simplemente vamos a resolver ese 84=4096 y luego le sacamos la raíz cúbica a 4096 para quedar simplemente en el logaritmo en base 2 de 16
Ahora resolvámoslo aplicando la propiedad del logaritmo de una raíz
Resolvamos el logaritmo en base 2 de 8 para poder multiplicarlo por el 4/3
Resolvamos otro ejercicio para validar la propiedad del logaritmo de una raíz:
Lo primero que haremos será resolver el 16³ = 4096. Luego le sacamos la raíz cuadrada a 4096 y obtenemos 64. Por último calculamos el logaritmo en base 4 de 64. Así:
Ya vimos que el resultado es 3. Ahora vamos a aplicar la propiedad del logaritmo de una raíz.
Lo que haremos será calcular el logaritmo en base 4 de 16 y multiplicarlo por el 3/2. Así:
Cambio de base
El logaritmo en base b de a se puede expresar como el cociente entre el logaritmo en base p de a y el logaritmo en base p de b. El valor de p es de libre escogencia siempre y cuando sea un valor positivo diferente de 1.
Veamos un ejercicio de cambio de base
El logaritmo en base 8 de 64 lo podemos resolver aplicando un cambio de base. Elegiremos la base 2 como lo ves en la imagen anterior.
¿Cuánto debe dar? Veamos, resolvamos primero el logaritmo en base 8 de 64
Ya sabemos que el resultado debe dar 2. Ahora hagámoslo por la propiedad de cambio de base
Calculemos el logaritmo en base 2 de 64 y lo dividimos entre el logaritmo en base 2 de 8. Así:
En el ejemplo anterior hicimos cambio de base por un valor de 2. Pero puede ser cualquier base.
Mira, resuelve en tu calculadora con cualquier valor de base y hubieras obtenido el mismo resultado:
¿Te gustó la clase de propiedades de los logaritmos?
Deberías darle un vistazo a la clase de propiedades de la potenciación.
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