Aprender Trigonometría desde CERO!

Manuel

hace 2 años

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Para que tengas una noción más clara y completa sobre la trigonometría, te invito a iniciar dándole un vistazo a esta explicación que hicimos en vídeo para que puedas aprender trigonometría desde cero.

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Introducción al a trigonometría
Qué son las razones trigonométricas
Teorema del seno (ejercicios resueltos y explicados)
Teorema del coseno (ejercicios resueltos y explicados)
Identidades trigonométricas
Reto trigonométrico (sólo cuando te sientas experto!)

Introducción a la Trigonometría

Es una rama de las matemáticas cuyo propósito es el estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia.

Como punto de partida vamos a analizar los elementos de un triángulo rectángulo

Triángulos Rectángulos

Antes de explicar qué son las razones trigonométricas… vamos a repasar un poco el asunto de los triángulos rectángulos.

Seguramente tienes claro que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º en su interior que por lo general se representa con un cuadrito:

Hipotenusa

Cada lado de un triángulo rectángulo tiene un nombre. El lado más largo, el que está siempre de frente al ángulo recto, se denomina hipotenusa:

Catetos

Una vez identificada la hipotenusa… los otros dos lados se llaman catetos:

Bauticemos los catetos

Antes de bautizar o diferenciar un cateto del otro… debemos tener claro cuál es el ángulo de trabajo. Supongamos el siguiente triángulo:

Si elijo el ángulo de 60º y me paro en él, voy a llamar al cateto que tengo justo enfrente cateto opuesto y al que tengo al lado cateto adyacente.

Pero si yo elijo el ángulo de 30º y me paro en él, la cosa cambia…

Es MUY IMPORTANTE saber el ángulo de trabajo antes de atrevernos a decir cuál cateto es el opuesto y cuál es el adyacente.

¿Qué son las Razones Trigonométricas?

Buenos vamos a partir por la palabra Trigonométricas. Siempre que veas la palabra trigonometría metida en algún lado quiere decir que vamos a analizar algo referente a los lados y ángulos de un triángulo rectángulo.

Por eso era muy importante abordar primero el asunto de los triángulos rectángulos antes de agarrar el ritmo a las razones trigonométricas.

Razones… espero tengas claro que en matemáticas una razón es una relación de dos cantidades. ¿Cómo se relacionan? … pues dividiendo.

Así de sencillo… una razón es una división… o digámoslo de otra forma… una fracción.

Vamos a construir las razones trigonométricas

Antes de armar las razones… osea las fracciones… vamos a determinar con qué las construiremos. Usaremos los lados del triángulo rectángulo y estas son sus abreviaturas:

Es decir que tenemos tres cosas para combinar y armar las fracciones que queramos

No sé ustedes… pero me parece que estas son las únicas combinaciones posibles para armar una fracción con las tres cosas que tenemos: CO, CA y H

¡Eso es todo!

Eso es todo hasta ahora… ya construimos las seis razones trigonométricas… ya armamos seis fracciones combinando cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa.

Clasificación de las razones trigonométricas

Esto es muy sencillo… se determinó que unas eran las básicas o fundamentales… y las otras… son las recíprocas.

Recíproco significa que está al revés… patas arriba… por eso las recíprocas son las mismas básicas pero la fracción está invertida… eso es todo… ¿fácil cierto?

¿Cómo se llaman las razones trigonométricas?

Bueno… tal cual bautizo… a cada una de esas razones… o fracciones… les dieron un nombre.

Así las cosas…

Si me dicen calcule el seno de un triángulo… yo agarro el cateto opuesto y lo divido entre la hipotenusa.

Si me dicen calcule el coseno de un triángulo… yo agarro el cateto adyacente y lo divido entre la hipotenusa.

Si me dicen calcule la tangente de un triángulo… yo agarro el cateto opuesto y lo divido entre el cateto adyacente.

Si me dicen calcule la cosecante de un triángulo… yo agarro la hipotenusa y la divido entre el cateto opuesto.

Si me dicen calcule la secante de un triángulo… yo agarro la hipotenusa y la divido entre el cateto adyacente.

Si me dicen calcule la cotangente de un triángulo… yo agarro el cateto adyacente y lo divido entre el cateto opuesto.

Todo bien… hasta ahora…

Dado el siguiente triángulo… calcula el seno… calcula el coseno… y calcula la tangente:

¿Cómo lo harías si no sabes cuál es de los catetos es el opuesto y cuál el adyacente?… ¿Qué hace falta?

¡EL ÁNGULO DE TRABAJO!

Tengo que decirle al seno… al coseno… a la tangente… cuál es el ángulo de trabajo para poder identificar cuál cateto es el opuesto y cuál es el adyacente

Digámosle que es el de 30º

En este caso habría que escribir el seno… coseno… tangente… y todas las razones trigonométricas con el ángulo entre paréntesis… así:

Ese ángulo entre paréntesis sólo sirve para saber cuál cateto es el opuesto y cuál el adyacente.

¿Cómo calcular las razones trigonométricas?

Vamos a plantear el siguiente triángulo

Si yo te digo calcula el seno… debo decirte de cuál ángulo para que puedas saber cuál es el cateto opuesto y cuál el adyacente.

Listo… digámoslo bien… calcula el seno de 30º

Perfecto con el ángulo ya identifiqué quién es quién y ahora sólo debo reemplazar:

¡Eso es todo!

Hagamos otro ejemplo: calculemos el seno pero de 60º

Primer paso… me paro en 60º e identifico los catetos

Listo ahora sólo reemplazo en la fórmula del seno:

¿Sabías que tenemos una app que incluye calculadoras de trigonometría?

¿No lo tienes claro aún? Dale un vistazo a la explicación en vídeo:

¿Cómo vas con eso de Aprender Trigonometría desde CERO? Veamos ahora los famosos teoremas del seno y coseno!

El Teorema del Seno – Ejercicios resueltos

Si lo tuyo es ver las clases en vídeo… no te preocupes… te enseñamos lo que necesitas saber del Teorema del Seno – Ejercicios Resueltos en nuestro canal de YouTube aquí.

¿En qué consiste el Teorema del Seno?

Básicamente vamos a armar parejas y a construir fracciones… ¿pero cómo? … veamos el siguiente triángulo:

Las parejas que te digo consisten en que a cada lado le corresponde un ángulo… así de sencillo.

¿Y las divisiones?… bueno vamos a armar la fracción de la siguiente manera: cada lado va dividido entre el seno del ángulo que tiene enfrente.

Primera pareja:

Segunda pareja:

Tercera pareja:

¡Listas la parejas! … ¿eso es todo?

Bueno sólo nos resta decir que el teorema o la ley del seno consiste en que esas tres parejas van a dar siempre el mismo resultado… sin importar el triángulo que sea.

¿Y la fórmula del teorema del seno?

Si eres de los que te gusta tener a la mano una fórmula o aprendértela… acá te dejamos la fórmula del Teorema del Seno:

Ejercicios resueltos utilizando el Teorema del Seno

Ejercicios resueltos con el Teorema del seno #01

Tenemos el siguiente triángulo y deseamos calcular el valor del lado a y b, así como del ángulo alfa

El primer paso es armar las parejas de fracciones de la ley del seno:

Bueno acá podemos aplicar un conocimiento básico que seguramente es muy evidente… la suma de ángulos internos debe dar 180º… entonces podemos calcular el ángulo alfa de la siguiente forma

Listo… ya tenemos tres ángulos… y nuestras parejas están casi completas.

El siguiente paso es elegir dos fracciones. Una debe estar completa y la otra debe tener una sola incógnita para proceder con su despeje.

De las fracciones elegidas vemos que podemos despejar al lado b y calcular su valor:

Ahora sólo falta el valor del lado a. Para ello podemos usar dos fracciones de esta forma:

Y aquí tenemos nuestro primer ejercicio resuelto utilizando el teorema del seno:

Ejercicios resueltos con el Teorema del seno #02

Hallar los dos ángulos y el lado faltante del siguiente triángulo:

El primer paso es armar las parejas de fracciones de la ley del seno:

El siguiente paso es elegir dos fracciones. Una debe estar completa y la otra debe tener una sola incógnita para proceder con su despeje.

Nuestra incógnita está abajo de la fracción… ¡volteemos todo!

¿Sabias que si en una ecuación invertimos ambas partes… no se altera nada y podemos seguir trabajando?

Llegó el momento de despejar el ángulo beta

Para despejar el seno… vamos a enviarlo al otro lado como seno inverso. En tu calculadora sólo debes oprimir SHIFT y sen.

Sabiendo que beta vale 81.85º… podemos calcular el tercer ángulo utilizando la sumatoria de ángulos internos de un triángulo:

Calcular el lado c ya es sólo carpintería… usemos dos fracciones de la ley del seno y despejemos su valor:

Y aquí tenemos otro ejercicio resuelto utilizando el teorema del seno:

Teorema del Coseno – Ejercicios Resueltos

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¿En qué consiste el Teorema del Coseno?

Bueno básicamente consiste en que dado un triángulo ABC, se deben cumplir las siguientes tres ecuaciones o planteamientos:

En otra ocasión explicaremos de dónde o porqué son esas tres ecuaciones las que conforman el teorema del coseno. Por lo pronto… vamos a resolver triángulos!

Ejercicios resueltos por el Teorema del Coseno

Dado el siguiente triángulo, hallar el valor del lado a

Lógicamente utilizaremos la ecuación que corresponde al cálculo del lado a

Ahora simplemente reemplazamos y obtenemos el valor del lado a

¿Y cómo se calculan los ángulos utilizando el teorema del coseno?

En ese caso tenemos que despejar los ángulos de las tres ecuaciones del Teorema del Coseno

Vamos a despejar el ángulo alfa de la primera ecuación.

Volteemos la ecuación para tener el ángulo en el lado izquierdo (se ve más bonito ¿o no?)

Ahora ese b² y c² que están sumando… lancémoslos a restar al otro lado

Ahora ese -2bc está multiplicando… lancémoslo al otro lado a dividir

Ahora ese coseno hay que lanzarlo al otro lado como coseno inverso o también conocido como arco-coseno

Y listo… quedó despejado el ángulo del teorema del coseno… he aquí un resumen del despeje completo:

Estos son todos los despejes de los ángulos de las ecuaciones del Teorema del Coseno

Vamos a calcular los ángulos de un triángulo utilizando el teorema del coseno

Utilizamos las ecuaciones que despejamos anteriormente y reemplazamos en nuestra calculadora. No olvides que para sacar el coseno inverso en tu calculadora debes oprimir las teclas SHIFT y cos

Así de sencillo obtenemos que el ángulo alfa vale 40º.

¿Y si calculas solito los otros dos ángulos? Deben darte 80º y 60º… inténtalo y descubre si lo estás planteando bien.

¿Te gusto nuestra clase? No olvides que siempre puedes verla en vídeo… y suscríbete a nuestro canal!

Un curso de Aprender Trigonometría desde CERO no estaría completo si no te metemos un poco en el cuento de las identidades trigonométricas… vamos por ello!

Identidades trigonométricas

¿Qué son las identidades trigonométricas ?

Antes de abordar las identidades trigonométricas fundamentales, dejemos claro que una identidad trigonométrica no es más que una igualdad que relaciona dos o más funciones trigonométricas.

Existen tres tipos o grupos de identidades trigonométricas que se pueden catalogar como fundamentales y de las cuales se pudieran derivar muchas identidades más.

Identidades Recíprocas

Son aquellas que provienen del despeje de las equivalencias entre una razón trigonométrica y su recíproco correspondiente:

Identidades del Cociente

Corresponden al equivalente fraccionario de las razones trigonométricas tangente y cotangente en términos del seno y coseno. Se deducen de la siguiente manera:

Identidades Pitagóricas

Son aquellas que se deducen del Teorema de Pitágoras. Si deseas observar sus demostraciones detalladas te invitamos a ver el siguiente video