Calcular un límite casi siempre empieza igual: reemplazas el valor al que tiende la x. Si sale un número, ya terminaste: es un límite directo. Si sale 0/0, tienes un límite indeterminado y toca factorizar y cancelar. Aquí te lo explico paso a paso, con ejercicios resueltos, video y una lección interactiva para practicar.
Video: límites directos e indeterminados resueltos con la lección interactiva
En este video resuelvo varios límites de la lección interactiva. Algunos los paso rapidito: en la lección los tienes completos, paso a paso, para que los trabajes a tu ritmo.
¿Qué es el límite de una función?
El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se acercan los resultados de la función cuando x se acerca cada vez más a a, por la izquierda y por la derecha. Se escribe límx→a f(x) = L. Lo importante es la palabra acercarse: al límite no le interesa qué pasa exactamente en x = a, sino muy cerca de ese valor.
¿Cómo se resuelve un límite? El primer paso siempre es reemplazar
- Reemplaza el valor al que tiende x en toda la expresión.
- Si obtienes un número, ese es el límite: es un límite directo.
- Si obtienes 0/0, el límite es indeterminado: todavía no sabes cuánto vale. Hay que factorizar, cancelar el factor que produce el cero y volver a reemplazar.
Límites directos: ejercicios resueltos
Ejemplo 1: límite de un polinomio
Ejemplo 2: límite directo de una fracción
Límites indeterminados: ¿por qué 0/0 no es la respuesta?
Cuando al reemplazar obtienes 0/0, no significa que el límite sea 0, ni 1, ni que no exista. Significa que la fracción tiene un factor común arriba y abajo que se hace cero en ese punto y está «escondiendo» el valor real. Mira qué pasa con (x² − 25)/(x − 5) cuando x se acerca a 5:
| x | 4,9 | 4,99 | 4,999 | 5 | 5,001 | 5,01 | 5,1 |
| f(x) | 9,9 | 9,99 | 9,999 | 0/0 | 10,001 | 10,01 | 10,1 |
Método para resolver límites indeterminados por factorización
- Reemplaza y confirma que sale 0/0.
- Factoriza el numerador, el denominador o ambos con el caso que corresponda.
- Cancela el factor que se repite arriba y abajo (es el que producía el cero).
- Reemplaza otra vez en la expresión simplificada.
Pista: si x tiende a a y sale 0/0, el factor que vas a cancelar casi siempre es (x − a). Si x → 4, busca (x − 4); si x → −5, busca (x + 5). Si los casos de factorización no están frescos, repásalos en la lección interactiva de casos de factorización.
Límites indeterminados 0/0: ejercicios resueltos por factorización
Ejemplo 3: límite por factor común
Ejemplo 4: límite por diferencia de cuadrados
Ejemplo 5: límite por trinomio de la forma x² + bx + c
Ejemplo 6: límite por trinomio de la forma ax² + bx + c
Ejemplo 7: límite por diferencia de cubos
Ejemplo 8: factorizando arriba y abajo
Practica los límites paso a paso
23 límites resueltos: reemplazo directo y el caso 0/0 por factor común, diferencia de cuadrados, trinomios y cubos, con cancelaciones animadas y preguntas para comprobar lo que aprendiste. 40 láminas.
Errores comunes al resolver límites
- Escribir 0/0 = 0 o 0/0 = 1 como respuesta. 0/0 solo avisa que hay que seguir trabajando.
- Cancelar términos sueltos en vez de factores: en (x² − 25)/(x − 5) no se puede tachar la x de x² con la x de abajo. Solo se cancelan factores que multiplican a todo.
- Olvidar escribir límx→a en cada paso hasta reemplazar al final.
- Equivocarse de signo en el factor: si x → −3, el factor que se cancela es (x + 3), no (x − 3).
Lección interactiva de límites: gratis y PRO
La parte gratis de la lección interactiva explica qué es un límite, qué es una indeterminación, repasa la factorización y trae 10 límites directos resueltos con preguntas para comprobar. La lección PRO agrega los 13 límites indeterminados por factor común, diferencia de cuadrados, trinomios y suma y diferencia de cubos, con las respuestas de todos los ejercicios.
La lección PRO viene incluida en la membresía Las Mates Fáciles: por $5 USD al mes (≈ $19.900 COP) accedes a todas las lecciones interactivas completas, al Generador de Talleres y Exámenes, al Constructor Curricular, simuladores y juegos para clase.
Sigue aprendiendo
- Lección interactiva: los casos de factorización paso a paso
- Clases de casos de factorización
- Lección interactiva: potenciación, radicación y logaritmación
- Clases de funciones
- ¿Vas a presentar el Saber 11°? Conoce Dosis Diaria, nuestra app para prepararte cada día
Preguntas frecuentes sobre límites
¿Qué es un límite directo?
Es un límite que se resuelve reemplazando el valor al que tiende x: si el resultado es un número, ese número es el límite.
¿Qué es un límite indeterminado?
Es un límite que, al reemplazar, da una expresión como 0/0 que no indica el valor. Hay que transformar la expresión, por ejemplo factorizando y cancelando, antes de volver a reemplazar.
¿Cómo se resuelve un límite 0/0 por factorización?
Se factoriza el numerador y/o el denominador, se cancela el factor que se repite (normalmente x − a cuando x tiende a a) y se reemplaza de nuevo en la expresión simplificada.
¿Por qué se puede cancelar el factor si vale cero?
Porque el límite estudia valores de x muy cercanos a a, pero distintos de a. Para esos valores el factor no es cero, así que se puede simplificar sin problema.
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