Resolver Integrales por Sustitución Trigonométrica es muy fácil y sencillo, sobre todo después de ver nuestra clase full explicada paso a paso y con detalle para que no quedes con ninguna duda al respecto.
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Vamos a lo que vinimos, a aprender a resolver una integral utilizando el método de sustitución trigonométrica con un ejemplo paso a paso. Pero antes… veamos de dónde surge la idea de SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Teorema de Pitágoras en la Sustitución Trigonométrica
El método de sustitución trigonométrica está estrechamente ligado al teorema de Pitágoras, por lo cual vale la pena recordar la forma en calculamos cada cateto o hipotenusa:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos»
Tres casos para sustitución trigonométrica
No vamos a utilizar las letras a, b y c en nuestro teorema de Pitágoras… vamos a usar sólo la letra a y nuestra variable x. Las combinaciones serían las siguientes:
Procesemos lo anterior. En el primer caso a es la hipotenusa y x es un cateto. En el segundo caso a y x son catetos. Por último, en el tercer caso x es la hipotenusa y a es un cateto. Esos son los tres posibles casos que vamos a analizar. Ahora calculemos el lado faltante en cada caso:
Ahora apliquemos un poco de nuestro conocimiento en razones trigonométricas para la parte que sigue.
Recuerda que tenemos una súper clase de trigonometría disponible aquí. Te lo decimos por que ahora vamos a aplicar seno, tangente y secante para relacionar a y x con el ángulo θ.
De lo obtenido anteriormente podemos ir despejando la variable x en cada caso para luego SUSTITUIRLA en un ejercicio de integración. Mira que ya va apareciendo la cosa de sustituir. Entonces x quedaría así:
Ya relacionamos x con a en cada triángulo posible… pero ahora vamos a relacionar el término con la raíz de cada caso con respecto al lado a. Veamos:
De igual forma podemos despejar en cada caso el término con la raíz:
En este asunto de la sustitución aún falta algo importante… ya tenemos cómo sustituir a x… pero nos falta dx… su derivada… entonces derivemos:
En resumen digamos que estas son nuestras armas posibles en caso de tener que resolver una integral por sustitución trigonométrica:
Ejercicio resuelto paso a paso de integrales por sustitución trigonométrica
Vamos a resolver la siguiente integral:
¿Cómo sé si debo aplicar sustitución trigonométrica en una integral?
Es muy sencillo, todo te lo indica el radical. Si tu ejercicio de integración tiene alguno de los siguientes radicales, entonces puedes aplicar sustitución trigonométrica.
Nuestro ejercicio corresponde al caso 1 o primer triángulo (obsérvalo y te darás cuenta que es obvio).
Vamos a adelantarnos un poco, confiando en que si llegaste hasta aquí es porque tienes capacidad para seguirnos el ritmo. Reemplacemos lo que pertenece al caso 1 considerando que a = 5.
Ahora vamos a proceder con la sustitución:
Aplicamos un poco de identidades trigonométricas pitagóricas y así va la cosa:
Terminamos de integrar de forma directa y con tabla y obtenemos este resultado en términos de la variable theta (θ)
Antes de volver a la variable x nuestro resultado, vamos a recordar esas razones trigonométricas qué nos representan:
Y nuestro resultado sería el siguiente:
No dudes en comentar tu integral imposible para hacerla posible!
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